Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25304 / 24813
↖ ↑ ↗
← S 67.529573°
E 97.998047°		 ← 466.92 m → S 67.529573°
E 98.009033°		 →
↑
466.87 m
↓
↑
466.87 m
↓
S 67.533772°
E 97.998047°		 ← 466.84 m →
217 969 m²		 S 67.533772°
E 98.009033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772232055664062 y=0.757247924804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772232055664062 × 215)
    floor (0.772232055664062 × 32768)
    floor (25304.5)     		tx = 25304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757247924804688 × 215)
    floor (0.757247924804688 × 32768)
    floor (24813.5)     		ty = 24813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25304 / 24813 ti = "15/25304/24813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25304/24813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25304 ÷ 215
    25304 ÷ 32768     		x = 0.772216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24813 ÷ 215
    24813 ÷ 32768     		y = 0.757232666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772216796875 × 2 - 1) × π
    0.54443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71038858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757232666015625 × 2 - 1) × π
    -0.51446533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61624050758981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71038858} λ = 1.71038858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61624050758981))-π/2
    2×atan(0.198644098023692)-π/2
    2×0.196091468646385-π/2
    0.39218293729277-1.57079632675     		φ = -1.17861339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71038858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.998047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17861339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.529573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25304 KachelY 24813 1.71038858 -1.17861339 97.998047 -67.529573
    Oben rechts KachelX + 1 25305 KachelY 24813 1.71058033 -1.17861339 98.009033 -67.529573
    Unten links KachelX 25304 KachelY + 1 24814 1.71038858 -1.17868667 97.998047 -67.533772
    Unten rechts KachelX + 1 25305 KachelY + 1 24814 1.71058033 -1.17868667 98.009033 -67.533772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17861339--1.17868667) × R
    7.32800000000644e-05 × 6371000     		dl = 466.86688000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17861339--1.17868667) × R
    7.32800000000644e-05 × 6371000     		dr = 466.86688000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71038858-1.71058033) × cos(-1.17861339) × R
    0.000191749999999935 × 0.38220652569931 × 6371000     		do = 466.918493400253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71038858-1.71058033) × cos(-1.17868667) × R
    0.000191749999999935 × 0.382138808315757 × 6371000     		du = 466.835767186597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17861339)-sin(-1.17868667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38220652569931-0.382138808315757)×R²
    abs(1.71058033-1.71038858)×6.77173835529343e-05×R²
    0.000191749999999935×6.77173835529343e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.77173835529343e-05×40589641000000     		ar = 217969.469261736m²