Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25303 / 24267
↖ ↑ ↗
← S 65.123017°
E 97.987060°		 ← 513.91 m → S 65.123017°
E 97.998047°		 →
↑
513.88 m
↓
↑
513.88 m
↓
S 65.127638°
E 97.987060°		 ← 513.82 m →
264 067 m²		 S 65.127638°
E 97.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772201538085938 y=0.740585327148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772201538085938 × 215)
    floor (0.772201538085938 × 32768)
    floor (25303.5)     		tx = 25303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740585327148438 × 215)
    floor (0.740585327148438 × 32768)
    floor (24267.5)     		ty = 24267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25303 / 24267 ti = "15/25303/24267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25303/24267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25303 ÷ 215
    25303 ÷ 32768     		x = 0.772186279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24267 ÷ 215
    24267 ÷ 32768     		y = 0.740570068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772186279296875 × 2 - 1) × π
    0.54437255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71019683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740570068359375 × 2 - 1) × π
    -0.48114013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51154631881961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71019683} λ = 1.71019683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51154631881961))-π/2
    2×atan(0.220568644676073)-π/2
    2×0.217092633070411-π/2
    0.434185266140822-1.57079632675     		φ = -1.13661106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71019683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.987060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13661106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.123017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25303 KachelY 24267 1.71019683 -1.13661106 97.987060 -65.123017
    Oben rechts KachelX + 1 25304 KachelY 24267 1.71038858 -1.13661106 97.998047 -65.123017
    Unten links KachelX 25303 KachelY + 1 24268 1.71019683 -1.13669172 97.987060 -65.127638
    Unten rechts KachelX + 1 25304 KachelY + 1 24268 1.71038858 -1.13669172 97.998047 -65.127638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13661106--1.13669172) × R
    8.06600000000657e-05 × 6371000     		dl = 513.884860000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13661106--1.13669172) × R
    8.06600000000657e-05 × 6371000     		dr = 513.884860000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71019683-1.71038858) × cos(-1.13661106) × R
    0.000191750000000157 × 0.420671404448176 × 6371000     		do = 513.908699026937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71019683-1.71038858) × cos(-1.13669172) × R
    0.000191750000000157 × 0.420598227272906 × 6371000     		du = 513.819302917423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13661106)-sin(-1.13669172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420671404448176-0.420598227272906)×R²
    abs(1.71038858-1.71019683)×7.31771752697785e-05×R²
    0.000191750000000157×7.31771752697785e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.31771752697785e-05×40589641000000     		ar = 264066.930341262m²