Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25302 / 24816
↖ ↑ ↗
← S 67.542167°
E 97.976074°		 ← 466.67 m → S 67.542167°
E 97.987060°		 →
↑
466.61 m
↓
↑
466.61 m
↓
S 67.546363°
E 97.976074°		 ← 466.59 m →
217 735 m²		 S 67.546363°
E 97.987060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772171020507812 y=0.757339477539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772171020507812 × 215)
    floor (0.772171020507812 × 32768)
    floor (25302.5)     		tx = 25302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757339477539062 × 215)
    floor (0.757339477539062 × 32768)
    floor (24816.5)     		ty = 24816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25302 / 24816 ti = "15/25302/24816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25302/24816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25302 ÷ 215
    25302 ÷ 32768     		x = 0.77215576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24816 ÷ 215
    24816 ÷ 32768     		y = 0.75732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77215576171875 × 2 - 1) × π
    0.5443115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71000508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75732421875 × 2 - 1) × π
    -0.5146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61681575038525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71000508} λ = 1.71000508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61681575038525))-π/2
    2×atan(0.198529862297237)-π/2
    2×0.195981567084696-π/2
    0.391963134169391-1.57079632675     		φ = -1.17883319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71000508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.976074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17883319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.542167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25302 KachelY 24816 1.71000508 -1.17883319 97.976074 -67.542167
    Oben rechts KachelX + 1 25303 KachelY 24816 1.71019683 -1.17883319 97.987060 -67.542167
    Unten links KachelX 25302 KachelY + 1 24817 1.71000508 -1.17890643 97.976074 -67.546363
    Unten rechts KachelX + 1 25303 KachelY + 1 24817 1.71019683 -1.17890643 97.987060 -67.546363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17883319--1.17890643) × R
    7.32400000000855e-05 × 6371000     		dl = 466.612040000544m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17883319--1.17890643) × R
    7.32400000000855e-05 × 6371000     		dr = 466.612040000544m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71000508-1.71019683) × cos(-1.17883319) × R
    0.000191749999999935 × 0.382003404359244 × 6371000     		do = 466.670352398715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71000508-1.71019683) × cos(-1.17890643) × R
    0.000191749999999935 × 0.381935717789249 × 6371000     		du = 466.587663828111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17883319)-sin(-1.17890643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382003404359244-0.381935717789249)×R²
    abs(1.71019683-1.71000508)×6.76865699948959e-05×R²
    0.000191749999999935×6.76865699948959e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.76865699948959e-05×40589641000000     		ar = 217734.713496234m²