Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25302 / 24814
↖ ↑ ↗
← S 67.533772°
E 97.976074°		 ← 466.84 m → S 67.533772°
E 97.987060°		 →
↑
466.80 m
↓
↑
466.80 m
↓
S 67.537970°
E 97.976074°		 ← 466.75 m →
217 901 m²		 S 67.537970°
E 97.987060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772171020507812 y=0.757278442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772171020507812 × 215)
    floor (0.772171020507812 × 32768)
    floor (25302.5)     		tx = 25302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757278442382812 × 215)
    floor (0.757278442382812 × 32768)
    floor (24814.5)     		ty = 24814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25302 / 24814 ti = "15/25302/24814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25302/24814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25302 ÷ 215
    25302 ÷ 32768     		x = 0.77215576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24814 ÷ 215
    24814 ÷ 32768     		y = 0.75726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77215576171875 × 2 - 1) × π
    0.5443115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.71000508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75726318359375 × 2 - 1) × π
    -0.5145263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61643225518829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71000508} λ = 1.71000508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61643225518829))-π/2
    2×atan(0.198606012146498)-π/2
    2×0.196054828300899-π/2
    0.392109656601798-1.57079632675     		φ = -1.17868667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71000508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.976074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17868667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.533772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25302 KachelY 24814 1.71000508 -1.17868667 97.976074 -67.533772
    Oben rechts KachelX + 1 25303 KachelY 24814 1.71019683 -1.17868667 97.987060 -67.533772
    Unten links KachelX 25302 KachelY + 1 24815 1.71000508 -1.17875994 97.976074 -67.537970
    Unten rechts KachelX + 1 25303 KachelY + 1 24815 1.71019683 -1.17875994 97.987060 -67.537970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17868667--1.17875994) × R
    7.32699999999031e-05 × 6371000     		dl = 466.803169999383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17868667--1.17875994) × R
    7.32699999999031e-05 × 6371000     		dr = 466.803169999383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71000508-1.71019683) × cos(-1.17868667) × R
    0.000191749999999935 × 0.382138808315757 × 6371000     		do = 466.835767186597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71000508-1.71019683) × cos(-1.17875994) × R
    0.000191749999999935 × 0.382071098121464 × 6371000     		du = 466.753049755624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17868667)-sin(-1.17875994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382138808315757-0.382071098121464)×R²
    abs(1.71019683-1.71000508)×6.77101942929137e-05×R²
    0.000191749999999935×6.77101942929137e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.77101942929137e-05×40589641000000     		ar = 217901.1097098m²