Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25301 / 24277
↖ ↑ ↗
← S 65.169193°
E 97.965088°		 ← 512.99 m → S 65.169193°
E 97.976074°		 →
↑
512.93 m
↓
↑
512.93 m
↓
S 65.173806°
E 97.965088°		 ← 512.90 m →
263 104 m²		 S 65.173806°
E 97.976074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772140502929688 y=0.740890502929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772140502929688 × 215)
    floor (0.772140502929688 × 32768)
    floor (25301.5)     		tx = 25301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740890502929688 × 215)
    floor (0.740890502929688 × 32768)
    floor (24277.5)     		ty = 24277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25301 / 24277 ti = "15/25301/24277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25301/24277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25301 ÷ 215
    25301 ÷ 32768     		x = 0.772125244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24277 ÷ 215
    24277 ÷ 32768     		y = 0.740875244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772125244140625 × 2 - 1) × π
    0.54425048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70981334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.48175048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51346379480441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70981334} λ = 1.70981334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51346379480441))-π/2
    2×atan(0.220146114821791)-π/2
    2×0.216689670047549-π/2
    0.433379340095098-1.57079632675     		φ = -1.13741699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70981334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.965088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13741699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.169193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25301 KachelY 24277 1.70981334 -1.13741699 97.965088 -65.169193
    Oben rechts KachelX + 1 25302 KachelY 24277 1.71000508 -1.13741699 97.976074 -65.169193
    Unten links KachelX 25301 KachelY + 1 24278 1.70981334 -1.13749750 97.965088 -65.173806
    Unten rechts KachelX + 1 25302 KachelY + 1 24278 1.71000508 -1.13749750 97.976074 -65.173806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13741699--1.13749750) × R
    8.05100000000891e-05 × 6371000     		dl = 512.929210000568m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13741699--1.13749750) × R
    8.05100000000891e-05 × 6371000     		dr = 512.929210000568m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70981334-1.71000508) × cos(-1.13741699) × R
    0.000191739999999996 × 0.419940117673209 × 6371000     		do = 512.988576014303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70981334-1.71000508) × cos(-1.13749750) × R
    0.000191739999999996 × 0.419867049315637 × 6371000     		du = 512.899317495945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13741699)-sin(-1.13749750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419940117673209-0.419867049315637)×R²
    abs(1.71000508-1.70981334)×7.30683575725366e-05×R²
    0.000191739999999996×7.30683575725366e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.30683575725366e-05×40589641000000     		ar = 263103.933525331m²