Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25300 / 24533
↖ ↑ ↗
← S 66.324274°
E 97.954102°		 ← 490.56 m → S 66.324274°
E 97.965088°		 →
↑
490.50 m
↓
↑
490.50 m
↓
S 66.328685°
E 97.954102°		 ← 490.48 m →
240 601 m²		 S 66.328685°
E 97.965088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772109985351562 y=0.748703002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772109985351562 × 215)
    floor (0.772109985351562 × 32768)
    floor (25300.5)     		tx = 25300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748703002929688 × 215)
    floor (0.748703002929688 × 32768)
    floor (24533.5)     		ty = 24533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25300 / 24533 ti = "15/25300/24533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25300/24533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25300 ÷ 215
    25300 ÷ 32768     		x = 0.7720947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24533 ÷ 215
    24533 ÷ 32768     		y = 0.748687744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7720947265625 × 2 - 1) × π
    0.544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70962159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748687744140625 × 2 - 1) × π
    -0.49737548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56255118001535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70962159} λ = 1.70962159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56255118001535))-π/2
    2×atan(0.209600659511609)-π/2
    2×0.206609690104999-π/2
    0.413219380209998-1.57079632675     		φ = -1.15757695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70962159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.954102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15757695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.324274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25300 KachelY 24533 1.70962159 -1.15757695 97.954102 -66.324274
    Oben rechts KachelX + 1 25301 KachelY 24533 1.70981334 -1.15757695 97.965088 -66.324274
    Unten links KachelX 25300 KachelY + 1 24534 1.70962159 -1.15765394 97.954102 -66.328685
    Unten rechts KachelX + 1 25301 KachelY + 1 24534 1.70981334 -1.15765394 97.965088 -66.328685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15757695--1.15765394) × R
    7.69900000001655e-05 × 6371000     		dl = 490.503290001055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15757695--1.15765394) × R
    7.69900000001655e-05 × 6371000     		dr = 490.503290001055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70962159-1.70981334) × cos(-1.15757695) × R
    0.000191749999999935 × 0.401559814710403 × 6371000     		do = 490.561230872789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70962159-1.70981334) × cos(-1.15765394) × R
    0.000191749999999935 × 0.401489303553184 × 6371000     		du = 490.475091675568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15757695)-sin(-1.15765394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401559814710403-0.401489303553184)×R²
    abs(1.70981334-1.70962159)×7.05111572187889e-05×R²
    0.000191749999999935×7.05111572187889e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.05111572187889e-05×40589641000000     		ar = 240600.772029539m²