Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 253 / 807
↖ ↑ ↗
← S 71.413177°
W 91.054688°		 ← 12.460 km → S 71.413177°
W 90.703125°		 →
↑
12.424 km
↓
↑
12.424 km
↓
S 71.524909°
W 91.054688°		 ← 12.388 km →
154.357 km²		 S 71.524909°
W 90.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.24755859375 y=0.78857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.24755859375 × 210)
    floor (0.24755859375 × 1024)
    floor (253.5)     		tx = 253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78857421875 × 210)
    floor (0.78857421875 × 1024)
    floor (807.5)     		ty = 807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 253 / 807 ti = "10/253/807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/253/807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 253 ÷ 210
    253 ÷ 1024     		x = 0.2470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 807 ÷ 210
    807 ÷ 1024     		y = 0.7880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2470703125 × 2 - 1) × π
    -0.505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.58920410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7880859375 × 2 - 1) × π
    -0.576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.81009732965332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58920410} λ = -1.58920410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.81009732965332))-π/2
    2×atan(0.163638209177432)-π/2
    2×0.162200630874873-π/2
    0.324401261749747-1.57079632675     		φ = -1.24639507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58920410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -91.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24639507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.413177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 253 KachelY 807 -1.58920410 -1.24639507 -91.054688 -71.413177
    Oben rechts KachelX + 1 254 KachelY 807 -1.58306817 -1.24639507 -90.703125 -71.413177
    Unten links KachelX 253 KachelY + 1 808 -1.58920410 -1.24834516 -91.054688 -71.524909
    Unten rechts KachelX + 1 254 KachelY + 1 808 -1.58306817 -1.24834516 -90.703125 -71.524909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24639507--1.24834516) × R
    0.00195009000000002 × 6371000     		dl = 12424.0233900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24639507--1.24834516) × R
    0.00195009000000002 × 6371000     		dr = 12424.0233900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58920410--1.58306817) × cos(-1.24639507) × R
    0.0061359299999999 × 0.318741329222602 × 6371000     		do = 12460.2392389453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58920410--1.58306817) × cos(-1.24834516) × R
    0.0061359299999999 × 0.316892347631675 × 6371000     		du = 12387.9588320475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24639507)-sin(-1.24834516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318741329222602-0.316892347631675)×R²
    abs(-1.58306817--1.58920410)×0.00184898159092717×R²
    0.0061359299999999×0.00184898159092717×6371000²
    0.0061359299999999×0.00184898159092717×40589641000000     		ar = 154357345.9332m²