Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25299 / 24215
↖ ↑ ↗
← S 64.881602°
E 97.943115°		 ← 518.57 m → S 64.881602°
E 97.954102°		 →
↑
518.54 m
↓
↑
518.54 m
↓
S 64.886265°
E 97.943115°		 ← 518.48 m →
268 876 m²		 S 64.886265°
E 97.954102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772079467773438 y=0.738998413085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772079467773438 × 215)
    floor (0.772079467773438 × 32768)
    floor (25299.5)     		tx = 25299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738998413085938 × 215)
    floor (0.738998413085938 × 32768)
    floor (24215.5)     		ty = 24215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25299 / 24215 ti = "15/25299/24215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25299/24215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25299 ÷ 215
    25299 ÷ 32768     		x = 0.772064208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24215 ÷ 215
    24215 ÷ 32768     		y = 0.738983154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772064208984375 × 2 - 1) × π
    0.54412841796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70942984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738983154296875 × 2 - 1) × π
    -0.47796630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50157544369864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70942984} λ = 1.70942984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50157544369864))-π/2
    2×atan(0.222778907905365)-π/2
    2×0.219199372003993-π/2
    0.438398744007986-1.57079632675     		φ = -1.13239758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70942984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.943115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13239758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.881602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25299 KachelY 24215 1.70942984 -1.13239758 97.943115 -64.881602
    Oben rechts KachelX + 1 25300 KachelY 24215 1.70962159 -1.13239758 97.954102 -64.881602
    Unten links KachelX 25299 KachelY + 1 24216 1.70942984 -1.13247897 97.943115 -64.886265
    Unten rechts KachelX + 1 25300 KachelY + 1 24216 1.70962159 -1.13247897 97.954102 -64.886265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13239758--1.13247897) × R
    8.139000000007e-05 × 6371000     		dl = 518.535690000446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13239758--1.13247897) × R
    8.139000000007e-05 × 6371000     		dr = 518.535690000446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70942984-1.70962159) × cos(-1.13239758) × R
    0.000191749999999935 × 0.424490183127746 × 6371000     		do = 518.573868948367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70942984-1.70962159) × cos(-1.13247897) × R
    0.000191749999999935 × 0.424416488567418 × 6371000     		du = 518.483840780958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13239758)-sin(-1.13247897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424490183127746-0.424416488567418)×R²
    abs(1.70962159-1.70942984)×7.36945603284633e-05×R²
    0.000191749999999935×7.36945603284633e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.36945603284633e-05×40589641000000     		ar = 268875.717690577m²