Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25298 / 24786
↖ ↑ ↗
← S 67.415927°
E 97.932129°		 ← 469.16 m → S 67.415927°
E 97.943115°		 →
↑
469.10 m
↓
↑
469.10 m
↓
S 67.420146°
E 97.932129°		 ← 469.07 m →
220 060 m²		 S 67.420146°
E 97.943115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772048950195312 y=0.756423950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772048950195312 × 215)
    floor (0.772048950195312 × 32768)
    floor (25298.5)     		tx = 25298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756423950195312 × 215)
    floor (0.756423950195312 × 32768)
    floor (24786.5)     		ty = 24786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25298 / 24786 ti = "15/25298/24786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25298/24786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25298 ÷ 215
    25298 ÷ 32768     		x = 0.77203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24786 ÷ 215
    24786 ÷ 32768     		y = 0.75640869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77203369140625 × 2 - 1) × π
    0.5440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70923809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75640869140625 × 2 - 1) × π
    -0.5128173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61106332243085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70923809} λ = 1.70923809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61106332243085))-π/2
    2×atan(0.199675182053332)-π/2
    2×0.197083215400726-π/2
    0.394166430801452-1.57079632675     		φ = -1.17662990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70923809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17662990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.415927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25298 KachelY 24786 1.70923809 -1.17662990 97.932129 -67.415927
    Oben rechts KachelX + 1 25299 KachelY 24786 1.70942984 -1.17662990 97.943115 -67.415927
    Unten links KachelX 25298 KachelY + 1 24787 1.70923809 -1.17670353 97.932129 -67.420146
    Unten rechts KachelX + 1 25299 KachelY + 1 24787 1.70942984 -1.17670353 97.943115 -67.420146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17662990--1.17670353) × R
    7.36299999999357e-05 × 6371000     		dl = 469.09672999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17662990--1.17670353) × R
    7.36299999999357e-05 × 6371000     		dr = 469.09672999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70923809-1.70942984) × cos(-1.17662990) × R
    0.000191750000000157 × 0.384038670002012 × 6371000     		do = 469.156712792639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70923809-1.70942984) × cos(-1.17670353) × R
    0.000191750000000157 × 0.383970685129658 × 6371000     		du = 469.073659804166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17662990)-sin(-1.17670353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384038670002012-0.383970685129658)×R²
    abs(1.70942984-1.70923809)×6.79848723536547e-05×R²
    0.000191750000000157×6.79848723536547e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.79848723536547e-05×40589641000000     		ar = 220060.399985597m²