Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25298 / 24527
↖ ↑ ↗
← S 66.297789°
E 97.932129°		 ← 491.08 m → S 66.297789°
E 97.943115°		 →
↑
491.08 m
↓
↑
491.08 m
↓
S 66.302206°
E 97.932129°		 ← 490.99 m →
241 136 m²		 S 66.302206°
E 97.943115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772048950195312 y=0.748519897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772048950195312 × 215)
    floor (0.772048950195312 × 32768)
    floor (25298.5)     		tx = 25298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748519897460938 × 215)
    floor (0.748519897460938 × 32768)
    floor (24527.5)     		ty = 24527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25298 / 24527 ti = "15/25298/24527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25298/24527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25298 ÷ 215
    25298 ÷ 32768     		x = 0.77203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24527 ÷ 215
    24527 ÷ 32768     		y = 0.748504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77203369140625 × 2 - 1) × π
    0.5440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70923809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748504638671875 × 2 - 1) × π
    -0.49700927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56140069442447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70923809} λ = 1.70923809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56140069442447))-π/2
    2×atan(0.209841940818936)-π/2
    2×0.206840806225576-π/2
    0.413681612451151-1.57079632675     		φ = -1.15711471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70923809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15711471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.297789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25298 KachelY 24527 1.70923809 -1.15711471 97.932129 -66.297789
    Oben rechts KachelX + 1 25299 KachelY 24527 1.70942984 -1.15711471 97.943115 -66.297789
    Unten links KachelX 25298 KachelY + 1 24528 1.70923809 -1.15719179 97.932129 -66.302206
    Unten rechts KachelX + 1 25299 KachelY + 1 24528 1.70942984 -1.15719179 97.943115 -66.302206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15711471--1.15719179) × R
    7.70799999998406e-05 × 6371000     		dl = 491.076679998985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15711471--1.15719179) × R
    7.70799999998406e-05 × 6371000     		dr = 491.076679998985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70923809-1.70942984) × cos(-1.15711471) × R
    0.000191750000000157 × 0.401983106348405 × 6371000     		do = 491.078340552538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70923809-1.70942984) × cos(-1.15719179) × R
    0.000191750000000157 × 0.401912527077093 × 6371000     		du = 490.992118144467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15711471)-sin(-1.15719179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401983106348405-0.401912527077093)×R²
    abs(1.70942984-1.70923809)×7.05792713115438e-05×R²
    0.000191750000000157×7.05792713115438e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.05792713115438e-05×40589641000000     		ar = 241135.950310073m²