Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25298 / 24525
↖ ↑ ↗
← S 66.288955°
E 97.932129°		 ← 491.25 m → S 66.288955°
E 97.943115°		 →
↑
491.20 m
↓
↑
491.20 m
↓
S 66.293373°
E 97.932129°		 ← 491.16 m →
241 283 m²		 S 66.293373°
E 97.943115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772048950195312 y=0.748458862304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772048950195312 × 215)
    floor (0.772048950195312 × 32768)
    floor (25298.5)     		tx = 25298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748458862304688 × 215)
    floor (0.748458862304688 × 32768)
    floor (24525.5)     		ty = 24525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25298 / 24525 ti = "15/25298/24525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25298/24525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25298 ÷ 215
    25298 ÷ 32768     		x = 0.77203369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24525 ÷ 215
    24525 ÷ 32768     		y = 0.748443603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77203369140625 × 2 - 1) × π
    0.5440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70923809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.49688720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56101719922751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70923809} λ = 1.70923809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56101719922751))-π/2
    2×atan(0.20992242962791)-π/2
    2×0.206917899054417-π/2
    0.413835798108833-1.57079632675     		φ = -1.15696053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70923809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.932129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15696053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.288955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25298 KachelY 24525 1.70923809 -1.15696053 97.932129 -66.288955
    Oben rechts KachelX + 1 25299 KachelY 24525 1.70942984 -1.15696053 97.943115 -66.288955
    Unten links KachelX 25298 KachelY + 1 24526 1.70923809 -1.15703763 97.932129 -66.293373
    Unten rechts KachelX + 1 25299 KachelY + 1 24526 1.70942984 -1.15703763 97.943115 -66.293373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15696053--1.15703763) × R
    7.70999999999411e-05 × 6371000     		dl = 491.204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15696053--1.15703763) × R
    7.70999999999411e-05 × 6371000     		dr = 491.204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70923809-1.70942984) × cos(-1.15696053) × R
    0.000191750000000157 × 0.402124276037372 × 6371000     		do = 491.250798985491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70923809-1.70942984) × cos(-1.15703763) × R
    0.000191750000000157 × 0.402053683231404 × 6371000     		du = 491.164560042952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15696053)-sin(-1.15703763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402124276037372-0.402053683231404)×R²
    abs(1.70942984-1.70923809)×7.05928059686056e-05×R²
    0.000191750000000157×7.05928059686056e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.05928059686056e-05×40589641000000     		ar = 241283.22624824m²