Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25297 / 24659
↖ ↑ ↗
← S 66.874031°
E 97.921143°		 ← 479.78 m → S 66.874031°
E 97.932129°		 →
↑
479.74 m
↓
↑
479.74 m
↓
S 66.878345°
E 97.921143°		 ← 479.69 m →
230 147 m²		 S 66.878345°
E 97.932129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772018432617188 y=0.752548217773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772018432617188 × 215)
    floor (0.772018432617188 × 32768)
    floor (25297.5)     		tx = 25297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752548217773438 × 215)
    floor (0.752548217773438 × 32768)
    floor (24659.5)     		ty = 24659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25297 / 24659 ti = "15/25297/24659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25297/24659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25297 ÷ 215
    25297 ÷ 32768     		x = 0.772003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24659 ÷ 215
    24659 ÷ 32768     		y = 0.752532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772003173828125 × 2 - 1) × π
    0.54400634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70904635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.50506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58671137742386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70904635} λ = 1.70904635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58671137742386))-π/2
    2×atan(0.204597350046299)-π/2
    2×0.20181215526025-π/2
    0.403624310520501-1.57079632675     		φ = -1.16717202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70904635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.921143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16717202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.874031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25297 KachelY 24659 1.70904635 -1.16717202 97.921143 -66.874031
    Oben rechts KachelX + 1 25298 KachelY 24659 1.70923809 -1.16717202 97.932129 -66.874031
    Unten links KachelX 25297 KachelY + 1 24660 1.70904635 -1.16724732 97.921143 -66.878345
    Unten rechts KachelX + 1 25298 KachelY + 1 24660 1.70923809 -1.16724732 97.932129 -66.878345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16717202--1.16724732) × R
    7.53000000000004e-05 × 6371000     		dl = 479.736300000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16717202--1.16724732) × R
    7.53000000000004e-05 × 6371000     		dr = 479.736300000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70904635-1.70923809) × cos(-1.16717202) × R
    0.000191739999999996 × 0.392753985000569 × 6371000     		do = 479.778661314211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70904635-1.70923809) × cos(-1.16724732) × R
    0.000191739999999996 × 0.39268473472587 × 6371000     		du = 479.694066872501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16717202)-sin(-1.16724732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392753985000569-0.39268473472587)×R²
    abs(1.70923809-1.70904635)×6.92502746985069e-05×R²
    0.000191739999999996×6.92502746985069e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.92502746985069e-05×40589641000000     		ar = 230146.948394624m²