Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25297 / 24528
↖ ↑ ↗
← S 66.302206°
E 97.921143°		 ← 490.97 m → S 66.302206°
E 97.932129°		 →
↑
490.95 m
↓
↑
490.95 m
↓
S 66.306621°
E 97.921143°		 ← 490.88 m →
241 018 m²		 S 66.306621°
E 97.932129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.772018432617188 y=0.748550415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.772018432617188 × 215)
    floor (0.772018432617188 × 32768)
    floor (25297.5)     		tx = 25297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748550415039062 × 215)
    floor (0.748550415039062 × 32768)
    floor (24528.5)     		ty = 24528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25297 / 24528 ti = "15/25297/24528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25297/24528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25297 ÷ 215
    25297 ÷ 32768     		x = 0.772003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24528 ÷ 215
    24528 ÷ 32768     		y = 0.74853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.772003173828125 × 2 - 1) × π
    0.54400634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70904635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74853515625 × 2 - 1) × π
    -0.4970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56159244202295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70904635} λ = 1.70904635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56159244202295))-π/2
    2×atan(0.209801707988121)-π/2
    2×0.206802269961424-π/2
    0.413604539922849-1.57079632675     		φ = -1.15719179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70904635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.921143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15719179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.302206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25297 KachelY 24528 1.70904635 -1.15719179 97.921143 -66.302206
    Oben rechts KachelX + 1 25298 KachelY 24528 1.70923809 -1.15719179 97.932129 -66.302206
    Unten links KachelX 25297 KachelY + 1 24529 1.70904635 -1.15726885 97.921143 -66.306621
    Unten rechts KachelX + 1 25298 KachelY + 1 24529 1.70923809 -1.15726885 97.932129 -66.306621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15719179--1.15726885) × R
    7.70599999999622e-05 × 6371000     		dl = 490.949259999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15719179--1.15726885) × R
    7.70599999999622e-05 × 6371000     		dr = 490.949259999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70904635-1.70923809) × cos(-1.15719179) × R
    0.000191739999999996 × 0.401912527077093 × 6371000     		do = 490.966512296954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70904635-1.70923809) × cos(-1.15726885) × R
    0.000191739999999996 × 0.401841963732069 × 6371000     		du = 490.880313840652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15719179)-sin(-1.15726885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401912527077093-0.401841963732069)×R²
    abs(1.70923809-1.70904635)×7.05633450244214e-05×R²
    0.000191739999999996×7.05633450244214e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.05633450244214e-05×40589641000000     		ar = 241018.486482005m²