Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25296 / 24682
↖ ↑ ↗
← S 66.973073°
E 97.910156°		 ← 477.86 m → S 66.973073°
E 97.921143°		 →
↑
477.83 m
↓
↑
477.83 m
↓
S 66.977370°
E 97.910156°		 ← 477.78 m →
228 314 m²		 S 66.977370°
E 97.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771987915039062 y=0.753250122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771987915039062 × 215)
    floor (0.771987915039062 × 32768)
    floor (25296.5)     		tx = 25296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753250122070312 × 215)
    floor (0.753250122070312 × 32768)
    floor (24682.5)     		ty = 24682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25296 / 24682 ti = "15/25296/24682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25296/24682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25296 ÷ 215
    25296 ÷ 32768     		x = 0.77197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24682 ÷ 215
    24682 ÷ 32768     		y = 0.75323486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77197265625 × 2 - 1) × π
    0.5439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70885460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75323486328125 × 2 - 1) × π
    -0.5064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5911215721889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70885460} λ = 1.70885460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5911215721889))-π/2
    2×atan(0.203697022653028)-π/2
    2×0.200947848815121-π/2
    0.401895697630241-1.57079632675     		φ = -1.16890063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70885460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16890063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.973073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25296 KachelY 24682 1.70885460 -1.16890063 97.910156 -66.973073
    Oben rechts KachelX + 1 25297 KachelY 24682 1.70904635 -1.16890063 97.921143 -66.973073
    Unten links KachelX 25296 KachelY + 1 24683 1.70885460 -1.16897563 97.910156 -66.977370
    Unten rechts KachelX + 1 25297 KachelY + 1 24683 1.70904635 -1.16897563 97.921143 -66.977370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16890063--1.16897563) × R
    7.50000000000473e-05 × 6371000     		dl = 477.825000000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16890063--1.16897563) × R
    7.50000000000473e-05 × 6371000     		dr = 477.825000000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70885460-1.70904635) × cos(-1.16890063) × R
    0.000191749999999935 × 0.391163693917513 × 6371000     		do = 477.860921664459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70885460-1.70904635) × cos(-1.16897563) × R
    0.000191749999999935 × 0.391094668733404 × 6371000     		du = 477.776597790312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16890063)-sin(-1.16897563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391163693917513-0.391094668733404)×R²
    abs(1.70904635-1.70885460)×6.90251841094502e-05×R²
    0.000191749999999935×6.90251841094502e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.90251841094502e-05×40589641000000     		ar = 228313.74897418m²