Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25296 / 24562
↖ ↑ ↗
← S 66.451886°
E 97.910156°		 ← 488.07 m → S 66.451886°
E 97.921143°		 →
↑
488.02 m
↓
↑
488.02 m
↓
S 66.456275°
E 97.910156°		 ← 487.98 m →
238 165 m²		 S 66.456275°
E 97.921143°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771987915039062 y=0.749588012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771987915039062 × 215)
    floor (0.771987915039062 × 32768)
    floor (25296.5)     		tx = 25296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749588012695312 × 215)
    floor (0.749588012695312 × 32768)
    floor (24562.5)     		ty = 24562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25296 / 24562 ti = "15/25296/24562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25296/24562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25296 ÷ 215
    25296 ÷ 32768     		x = 0.77197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24562 ÷ 215
    24562 ÷ 32768     		y = 0.74957275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77197265625 × 2 - 1) × π
    0.5439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70885460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.4991455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56811186037128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70885460} λ = 1.70885460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56811186037128))-π/2
    2×atan(0.208438371791858)-π/2
    2×0.205496056216451-π/2
    0.410992112432902-1.57079632675     		φ = -1.15980421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70885460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15980421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.451886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25296 KachelY 24562 1.70885460 -1.15980421 97.910156 -66.451886
    Oben rechts KachelX + 1 25297 KachelY 24562 1.70904635 -1.15980421 97.921143 -66.451886
    Unten links KachelX 25296 KachelY + 1 24563 1.70885460 -1.15988081 97.910156 -66.456275
    Unten rechts KachelX + 1 25297 KachelY + 1 24563 1.70904635 -1.15988081 97.921143 -66.456275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15980421--1.15988081) × R
    7.66000000000933e-05 × 6371000     		dl = 488.018600000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15980421--1.15988081) × R
    7.66000000000933e-05 × 6371000     		dr = 488.018600000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70885460-1.70904635) × cos(-1.15980421) × R
    0.000191749999999935 × 0.399519022631707 × 6371000     		do = 488.068119168366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70885460-1.70904635) × cos(-1.15988081) × R
    0.000191749999999935 × 0.399448800331989 × 6371000     		du = 487.982332850806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15980421)-sin(-1.15988081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399519022631707-0.399448800331989)×R²
    abs(1.70904635-1.70885460)×7.02222997180368e-05×R²
    0.000191749999999935×7.02222997180368e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.02222997180368e-05×40589641000000     		ar = 238165.387679249m²