Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25295 / 24822
↖ ↑ ↗
← S 67.567334°
E 97.899170°		 ← 466.17 m → S 67.567334°
E 97.910156°		 →
↑
466.10 m
↓
↑
466.10 m
↓
S 67.571526°
E 97.899170°		 ← 466.09 m →
217 266 m²		 S 67.571526°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771957397460938 y=0.757522583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771957397460938 × 215)
    floor (0.771957397460938 × 32768)
    floor (25295.5)     		tx = 25295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757522583007812 × 215)
    floor (0.757522583007812 × 32768)
    floor (24822.5)     		ty = 24822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25295 / 24822 ti = "15/25295/24822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25295/24822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25295 ÷ 215
    25295 ÷ 32768     		x = 0.771942138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24822 ÷ 215
    24822 ÷ 32768     		y = 0.75750732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771942138671875 × 2 - 1) × π
    0.54388427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70866285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75750732421875 × 2 - 1) × π
    -0.5150146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61796623597614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70866285} λ = 1.70866285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61796623597614))-π/2
    2×atan(0.198301587889691)-π/2
    2×0.195761939165574-π/2
    0.391523878331148-1.57079632675     		φ = -1.17927245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70866285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.899170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17927245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.567334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25295 KachelY 24822 1.70866285 -1.17927245 97.899170 -67.567334
    Oben rechts KachelX + 1 25296 KachelY 24822 1.70885460 -1.17927245 97.910156 -67.567334
    Unten links KachelX 25295 KachelY + 1 24823 1.70866285 -1.17934561 97.899170 -67.571526
    Unten rechts KachelX + 1 25296 KachelY + 1 24823 1.70885460 -1.17934561 97.910156 -67.571526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17927245--1.17934561) × R
    7.31599999999055e-05 × 6371000     		dl = 466.102359999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17927245--1.17934561) × R
    7.31599999999055e-05 × 6371000     		dr = 466.102359999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70866285-1.70885460) × cos(-1.17927245) × R
    0.000191749999999935 × 0.381597420594589 × 6371000     		do = 466.17438669695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70866285-1.70885460) × cos(-1.17934561) × R
    0.000191749999999935 × 0.381529795691152 × 6371000     		du = 466.091773460635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17927245)-sin(-1.17934561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381597420594589-0.381529795691152)×R²
    abs(1.70885460-1.70866285)×6.76249034362031e-05×R²
    0.000191749999999935×6.76249034362031e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.76249034362031e-05×40589641000000     		ar = 217265.728795349m²