Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25295 / 24628
↖ ↑ ↗
← S 66.739902°
E 97.899170°		 ← 482.43 m → S 66.739902°
E 97.910156°		 →
↑
482.35 m
↓
↑
482.35 m
↓
S 66.744240°
E 97.899170°		 ← 482.35 m →
232 680 m²		 S 66.744240°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771957397460938 y=0.751602172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771957397460938 × 215)
    floor (0.771957397460938 × 32768)
    floor (25295.5)     		tx = 25295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751602172851562 × 215)
    floor (0.751602172851562 × 32768)
    floor (24628.5)     		ty = 24628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25295 / 24628 ti = "15/25295/24628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25295/24628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25295 ÷ 215
    25295 ÷ 32768     		x = 0.771942138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24628 ÷ 215
    24628 ÷ 32768     		y = 0.7515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771942138671875 × 2 - 1) × π
    0.54388427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70866285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.503173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58076720187097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70866285} λ = 1.70866285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58076720187097))-π/2
    2×atan(0.205817134327007)-π/2
    2×0.202982649876656-π/2
    0.405965299753312-1.57079632675     		φ = -1.16483103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70866285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.899170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16483103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.739902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25295 KachelY 24628 1.70866285 -1.16483103 97.899170 -66.739902
    Oben rechts KachelX + 1 25296 KachelY 24628 1.70885460 -1.16483103 97.910156 -66.739902
    Unten links KachelX 25295 KachelY + 1 24629 1.70866285 -1.16490674 97.899170 -66.744240
    Unten rechts KachelX + 1 25296 KachelY + 1 24629 1.70885460 -1.16490674 97.910156 -66.744240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16483103--1.16490674) × R
    7.57099999999511e-05 × 6371000     		dl = 482.348409999688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16483103--1.16490674) × R
    7.57099999999511e-05 × 6371000     		dr = 482.348409999688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70866285-1.70885460) × cos(-1.16483103) × R
    0.000191749999999935 × 0.394905783258251 × 6371000     		do = 482.432404880108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70866285-1.70885460) × cos(-1.16490674) × R
    0.000191749999999935 × 0.394836225712366 × 6371000     		du = 482.347430651922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16483103)-sin(-1.16490674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394905783258251-0.394836225712366)×R²
    abs(1.70885460-1.70866285)×6.95575458850572e-05×R²
    0.000191749999999935×6.95575458850572e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.95575458850572e-05×40589641000000     		ar = 232680.009945752m²