Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25295 / 24239
↖ ↑ ↗
← S 64.993296°
E 97.899170°		 ← 516.42 m → S 64.993296°
E 97.910156°		 →
↑
516.37 m
↓
↑
516.37 m
↓
S 64.997939°
E 97.899170°		 ← 516.33 m →
266 639 m²		 S 64.997939°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771957397460938 y=0.739730834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771957397460938 × 215)
    floor (0.771957397460938 × 32768)
    floor (25295.5)     		tx = 25295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739730834960938 × 215)
    floor (0.739730834960938 × 32768)
    floor (24239.5)     		ty = 24239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25295 / 24239 ti = "15/25295/24239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25295/24239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25295 ÷ 215
    25295 ÷ 32768     		x = 0.771942138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24239 ÷ 215
    24239 ÷ 32768     		y = 0.739715576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771942138671875 × 2 - 1) × π
    0.54388427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70866285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739715576171875 × 2 - 1) × π
    -0.47943115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50617738606216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70866285} λ = 1.70866285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50617738606216))-π/2
    2×atan(0.221756047588654)-π/2
    2×0.218224665040309-π/2
    0.436449330080619-1.57079632675     		φ = -1.13434700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70866285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.899170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13434700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.993296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25295 KachelY 24239 1.70866285 -1.13434700 97.899170 -64.993296
    Oben rechts KachelX + 1 25296 KachelY 24239 1.70885460 -1.13434700 97.910156 -64.993296
    Unten links KachelX 25295 KachelY + 1 24240 1.70866285 -1.13442805 97.899170 -64.997939
    Unten rechts KachelX + 1 25296 KachelY + 1 24240 1.70885460 -1.13442805 97.910156 -64.997939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13434700--1.13442805) × R
    8.10499999999159e-05 × 6371000     		dl = 516.369549999464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13434700--1.13442805) × R
    8.10499999999159e-05 × 6371000     		dr = 516.369549999464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70866285-1.70885460) × cos(-1.13434700) × R
    0.000191749999999935 × 0.422724309361955 × 6371000     		do = 516.416608245532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70866285-1.70885460) × cos(-1.13442805) × R
    0.000191749999999935 × 0.422650855736037 × 6371000     		du = 516.326874413056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13434700)-sin(-1.13442805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422724309361955-0.422650855736037)×R²
    abs(1.70885460-1.70866285)×7.34536259174301e-05×R²
    0.000191749999999935×7.34536259174301e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.34536259174301e-05×40589641000000     		ar = 266638.643848665m²