Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25294 / 24517
↖ ↑ ↗
← S 66.253587°
E 97.888183°		 ← 491.94 m → S 66.253587°
E 97.899170°		 →
↑
491.90 m
↓
↑
491.90 m
↓
S 66.258011°
E 97.888183°		 ← 491.85 m →
241 967 m²		 S 66.258011°
E 97.899170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771926879882812 y=0.748214721679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771926879882812 × 215)
    floor (0.771926879882812 × 32768)
    floor (25294.5)     		tx = 25294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748214721679688 × 215)
    floor (0.748214721679688 × 32768)
    floor (24517.5)     		ty = 24517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25294 / 24517 ti = "15/25294/24517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25294/24517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25294 ÷ 215
    25294 ÷ 32768     		x = 0.77191162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24517 ÷ 215
    24517 ÷ 32768     		y = 0.748199462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77191162109375 × 2 - 1) × π
    0.5438232421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70847110
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748199462890625 × 2 - 1) × π
    -0.49639892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55948321843967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70847110} λ = 1.70847110}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55948321843967))-π/2
    2×atan(0.21024469371216)-π/2
    2×0.207226541184291-π/2
    0.414453082368581-1.57079632675     		φ = -1.15634324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70847110} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.888183°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15634324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.253587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25294 KachelY 24517 1.70847110 -1.15634324 97.888183 -66.253587
    Oben rechts KachelX + 1 25295 KachelY 24517 1.70866285 -1.15634324 97.899170 -66.253587
    Unten links KachelX 25294 KachelY + 1 24518 1.70847110 -1.15642045 97.888183 -66.258011
    Unten rechts KachelX + 1 25295 KachelY + 1 24518 1.70866285 -1.15642045 97.899170 -66.258011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15634324--1.15642045) × R
    7.72099999999387e-05 × 6371000     		dl = 491.90490999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15634324--1.15642045) × R
    7.72099999999387e-05 × 6371000     		dr = 491.90490999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70847110-1.70866285) × cos(-1.15634324) × R
    0.000191750000000157 × 0.402689380910807 × 6371000     		do = 491.941153279246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70847110-1.70866285) × cos(-1.15642045) × R
    0.000191750000000157 × 0.402618706564478 × 6371000     		du = 491.854814723802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15634324)-sin(-1.15642045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402689380910807-0.402618706564478)×R²
    abs(1.70866285-1.70847110)×7.06743463293469e-05×R²
    0.000191750000000157×7.06743463293469e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.06743463293469e-05×40589641000000     		ar = 241967.033669287m²