Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25293 / 24240
↖ ↑ ↗
← S 64.997939°
E 97.877197°		 ← 516.33 m → S 64.997939°
E 97.888183°		 →
↑
516.24 m
↓
↑
516.24 m
↓
S 65.002582°
E 97.877197°		 ← 516.24 m →
266 527 m²		 S 65.002582°
E 97.888183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771896362304688 y=0.739761352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771896362304688 × 215)
    floor (0.771896362304688 × 32768)
    floor (25293.5)     		tx = 25293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739761352539062 × 215)
    floor (0.739761352539062 × 32768)
    floor (24240.5)     		ty = 24240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25293 / 24240 ti = "15/25293/24240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25293/24240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25293 ÷ 215
    25293 ÷ 32768     		x = 0.771881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24240 ÷ 215
    24240 ÷ 32768     		y = 0.73974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771881103515625 × 2 - 1) × π
    0.54376220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70827935
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73974609375 × 2 - 1) × π
    -0.4794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50636913366064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70827935} λ = 1.70827935}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50636913366064))-π/2
    2×atan(0.221713530475488)-π/2
    2×0.218184140375644-π/2
    0.436368280751288-1.57079632675     		φ = -1.13442805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70827935} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.877197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13442805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.997939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25293 KachelY 24240 1.70827935 -1.13442805 97.877197 -64.997939
    Oben rechts KachelX + 1 25294 KachelY 24240 1.70847110 -1.13442805 97.888183 -64.997939
    Unten links KachelX 25293 KachelY + 1 24241 1.70827935 -1.13450908 97.877197 -65.002582
    Unten rechts KachelX + 1 25294 KachelY + 1 24241 1.70847110 -1.13450908 97.888183 -65.002582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13442805--1.13450908) × R
    8.10300000000375e-05 × 6371000     		dl = 516.242130000239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13442805--1.13450908) × R
    8.10300000000375e-05 × 6371000     		dr = 516.242130000239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70827935-1.70847110) × cos(-1.13442805) × R
    0.000191749999999935 × 0.422650855736037 × 6371000     		do = 516.326874413056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70827935-1.70847110) × cos(-1.13450908) × R
    0.000191749999999935 × 0.42257741746022 × 6371000     		du = 516.237159332865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13442805)-sin(-1.13450908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422650855736037-0.42257741746022)×R²
    abs(1.70847110-1.70827935)×7.34382758176277e-05×R²
    0.000191749999999935×7.34382758176277e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.34382758176277e-05×40589641000000     		ar = 266526.528217165m²