Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25292 / 24529
↖ ↑ ↗
← S 66.306621°
E 97.866211°		 ← 490.88 m → S 66.306621°
E 97.877197°		 →
↑
490.82 m
↓
↑
490.82 m
↓
S 66.311035°
E 97.866211°		 ← 490.79 m →
240 914 m²		 S 66.311035°
E 97.877197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771865844726562 y=0.748580932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771865844726562 × 215)
    floor (0.771865844726562 × 32768)
    floor (25292.5)     		tx = 25292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748580932617188 × 215)
    floor (0.748580932617188 × 32768)
    floor (24529.5)     		ty = 24529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25292 / 24529 ti = "15/25292/24529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25292/24529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25292 ÷ 215
    25292 ÷ 32768     		x = 0.7718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24529 ÷ 215
    24529 ÷ 32768     		y = 0.748565673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7718505859375 × 2 - 1) × π
    0.543701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70808761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748565673828125 × 2 - 1) × π
    -0.49713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56178418962143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70808761} λ = 1.70808761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56178418962143))-π/2
    2×atan(0.209761482871115)-π/2
    2×0.20676374046284-π/2
    0.413527480925681-1.57079632675     		φ = -1.15726885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70808761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.866211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15726885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.306621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25292 KachelY 24529 1.70808761 -1.15726885 97.866211 -66.306621
    Oben rechts KachelX + 1 25293 KachelY 24529 1.70827935 -1.15726885 97.877197 -66.306621
    Unten links KachelX 25292 KachelY + 1 24530 1.70808761 -1.15734589 97.866211 -66.311035
    Unten rechts KachelX + 1 25293 KachelY + 1 24530 1.70827935 -1.15734589 97.877197 -66.311035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15726885--1.15734589) × R
    7.70400000000837e-05 × 6371000     		dl = 490.821840000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15726885--1.15734589) × R
    7.70400000000837e-05 × 6371000     		dr = 490.821840000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70808761-1.70827935) × cos(-1.15726885) × R
    0.000191739999999996 × 0.401841963732069 × 6371000     		do = 490.880313840652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70808761-1.70827935) × cos(-1.15734589) × R
    0.000191739999999996 × 0.401771416315609 × 6371000     		du = 490.794134842294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15726885)-sin(-1.15734589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401841963732069-0.401771416315609)×R²
    abs(1.70827935-1.70808761)×7.0547416460065e-05×R²
    0.000191739999999996×7.0547416460065e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.0547416460065e-05×40589641000000     		ar = 240913.629711382m²