Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25291 / 24671
↖ ↑ ↗
← S 66.925755°
E 97.855225°		 ← 478.79 m → S 66.925755°
E 97.866211°		 →
↑
478.72 m
↓
↑
478.72 m
↓
S 66.930060°
E 97.855225°		 ← 478.70 m →
229 184 m²		 S 66.930060°
E 97.866211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771835327148438 y=0.752914428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771835327148438 × 215)
    floor (0.771835327148438 × 32768)
    floor (25291.5)     		tx = 25291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752914428710938 × 215)
    floor (0.752914428710938 × 32768)
    floor (24671.5)     		ty = 24671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25291 / 24671 ti = "15/25291/24671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25291/24671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25291 ÷ 215
    25291 ÷ 32768     		x = 0.771820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24671 ÷ 215
    24671 ÷ 32768     		y = 0.752899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771820068359375 × 2 - 1) × π
    0.54364013671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70789586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752899169921875 × 2 - 1) × π
    -0.50579833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58901234860562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70789586} λ = 1.70789586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58901234860562))-π/2
    2×atan(0.204127118641901)-π/2
    2×0.201360775262239-π/2
    0.402721550524477-1.57079632675     		φ = -1.16807478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70789586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.855225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16807478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.925755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25291 KachelY 24671 1.70789586 -1.16807478 97.855225 -66.925755
    Oben rechts KachelX + 1 25292 KachelY 24671 1.70808761 -1.16807478 97.866211 -66.925755
    Unten links KachelX 25291 KachelY + 1 24672 1.70789586 -1.16814992 97.855225 -66.930060
    Unten rechts KachelX + 1 25292 KachelY + 1 24672 1.70808761 -1.16814992 97.866211 -66.930060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16807478--1.16814992) × R
    7.51400000000846e-05 × 6371000     		dl = 478.716940000539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16807478--1.16814992) × R
    7.51400000000846e-05 × 6371000     		dr = 478.716940000539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70789586-1.70808761) × cos(-1.16807478) × R
    0.000191749999999935 × 0.391923607636026 × 6371000     		do = 478.789262089607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70789586-1.70808761) × cos(-1.16814992) × R
    0.000191749999999935 × 0.3918544778977 × 6371000     		du = 478.704810487925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16807478)-sin(-1.16814992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391923607636026-0.3918544778977)×R²
    abs(1.70808761-1.70789586)×6.91297383266787e-05×R²
    0.000191749999999935×6.91297383266787e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.91297383266787e-05×40589641000000     		ar = 229184.316353835m²