Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25290 / 24679
↖ ↑ ↗
← S 66.960177°
E 97.844238°		 ← 478.11 m → S 66.960177°
E 97.855225°		 →
↑
478.02 m
↓
↑
478.02 m
↓
S 66.964476°
E 97.844238°		 ← 478.03 m →
228 526 m²		 S 66.964476°
E 97.855225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771804809570312 y=0.753158569335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771804809570312 × 215)
    floor (0.771804809570312 × 32768)
    floor (25290.5)     		tx = 25290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753158569335938 × 215)
    floor (0.753158569335938 × 32768)
    floor (24679.5)     		ty = 24679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25290 / 24679 ti = "15/25290/24679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25290/24679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25290 ÷ 215
    25290 ÷ 32768     		x = 0.77178955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24679 ÷ 215
    24679 ÷ 32768     		y = 0.753143310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77178955078125 × 2 - 1) × π
    0.5435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70770411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753143310546875 × 2 - 1) × π
    -0.50628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59054632939346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70770411} λ = 1.70770411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59054632939346))-π/2
    2×atan(0.203814231606332)-π/2
    2×0.201060385649101-π/2
    0.402120771298202-1.57079632675     		φ = -1.16867556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70770411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.844238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16867556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.960177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25290 KachelY 24679 1.70770411 -1.16867556 97.844238 -66.960177
    Oben rechts KachelX + 1 25291 KachelY 24679 1.70789586 -1.16867556 97.855225 -66.960177
    Unten links KachelX 25290 KachelY + 1 24680 1.70770411 -1.16875059 97.844238 -66.964476
    Unten rechts KachelX + 1 25291 KachelY + 1 24680 1.70789586 -1.16875059 97.855225 -66.964476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16867556--1.16875059) × R
    7.50299999998649e-05 × 6371000     		dl = 478.016129999139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16867556--1.16875059) × R
    7.50299999998649e-05 × 6371000     		dr = 478.016129999139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70770411-1.70789586) × cos(-1.16867556) × R
    0.000191749999999935 × 0.391370820682829 × 6371000     		do = 478.113955850693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70770411-1.70789586) × cos(-1.16875059) × R
    0.000191749999999935 × 0.391301774494954 × 6371000     		du = 478.029606317522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16867556)-sin(-1.16875059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391370820682829-0.391301774494954)×R²
    abs(1.70789586-1.70770411)×6.90461878750659e-05×R²
    0.000191749999999935×6.90461878750659e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.90461878750659e-05×40589641000000     		ar = 228526.022762383m²