Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25290 / 24261
↖ ↑ ↗
← S 65.095272°
E 97.844238°		 ← 514.45 m → S 65.095272°
E 97.855225°		 →
↑
514.39 m
↓
↑
514.39 m
↓
S 65.099898°
E 97.844238°		 ← 514.36 m →
264 605 m²		 S 65.099898°
E 97.855225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771804809570312 y=0.740402221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771804809570312 × 215)
    floor (0.771804809570312 × 32768)
    floor (25290.5)     		tx = 25290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740402221679688 × 215)
    floor (0.740402221679688 × 32768)
    floor (24261.5)     		ty = 24261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25290 / 24261 ti = "15/25290/24261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25290/24261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25290 ÷ 215
    25290 ÷ 32768     		x = 0.77178955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24261 ÷ 215
    24261 ÷ 32768     		y = 0.740386962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77178955078125 × 2 - 1) × π
    0.5435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70770411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.48077392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51039583322873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70770411} λ = 1.70770411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51039583322873))-π/2
    2×atan(0.220822551753784)-π/2
    2×0.217334747585059-π/2
    0.434669495170117-1.57079632675     		φ = -1.13612683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70770411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.844238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13612683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.095272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25290 KachelY 24261 1.70770411 -1.13612683 97.844238 -65.095272
    Oben rechts KachelX + 1 25291 KachelY 24261 1.70789586 -1.13612683 97.855225 -65.095272
    Unten links KachelX 25290 KachelY + 1 24262 1.70770411 -1.13620757 97.844238 -65.099898
    Unten rechts KachelX + 1 25291 KachelY + 1 24262 1.70789586 -1.13620757 97.855225 -65.099898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13612683--1.13620757) × R
    8.07400000000236e-05 × 6371000     		dl = 514.39454000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13612683--1.13620757) × R
    8.07400000000236e-05 × 6371000     		dr = 514.39454000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70770411-1.70789586) × cos(-1.13612683) × R
    0.000191749999999935 × 0.421110654900685 × 6371000     		do = 514.445304619707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70770411-1.70789586) × cos(-1.13620757) × R
    0.000191749999999935 × 0.421037421599684 × 6371000     		du = 514.355839944798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13612683)-sin(-1.13620757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421110654900685-0.421037421599684)×R²
    abs(1.70789586-1.70770411)×7.32333010000086e-05×R²
    0.000191749999999935×7.32333010000086e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.32333010000086e-05×40589641000000     		ar = 264604.845898798m²