Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25290 / 24234
↖ ↑ ↗
← S 64.970064°
E 97.844238°		 ← 516.87 m → S 64.970064°
E 97.855225°		 →
↑
516.82 m
↓
↑
516.82 m
↓
S 64.974712°
E 97.844238°		 ← 516.78 m →
267 101 m²		 S 64.974712°
E 97.855225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771804809570312 y=0.739578247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771804809570312 × 215)
    floor (0.771804809570312 × 32768)
    floor (25290.5)     		tx = 25290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739578247070312 × 215)
    floor (0.739578247070312 × 32768)
    floor (24234.5)     		ty = 24234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25290 / 24234 ti = "15/25290/24234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25290/24234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25290 ÷ 215
    25290 ÷ 32768     		x = 0.77178955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24234 ÷ 215
    24234 ÷ 32768     		y = 0.73956298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77178955078125 × 2 - 1) × π
    0.5435791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70770411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73956298828125 × 2 - 1) × π
    -0.4791259765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50521864806976
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70770411} λ = 1.70770411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50521864806976))-π/2
    2×atan(0.2219687554858)-π/2
    2×0.218427394023267-π/2
    0.436854788046535-1.57079632675     		φ = -1.13394154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70770411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.844238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13394154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.970064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25290 KachelY 24234 1.70770411 -1.13394154 97.844238 -64.970064
    Oben rechts KachelX + 1 25291 KachelY 24234 1.70789586 -1.13394154 97.855225 -64.970064
    Unten links KachelX 25290 KachelY + 1 24235 1.70770411 -1.13402266 97.844238 -64.974712
    Unten rechts KachelX + 1 25291 KachelY + 1 24235 1.70789586 -1.13402266 97.855225 -64.974712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13394154--1.13402266) × R
    8.11200000001566e-05 × 6371000     		dl = 516.815520000998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13394154--1.13402266) × R
    8.11200000001566e-05 × 6371000     		dr = 516.815520000998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70770411-1.70789586) × cos(-1.13394154) × R
    0.000191749999999935 × 0.423091726106352 × 6371000     		do = 516.865458961594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70770411-1.70789586) × cos(-1.13402266) × R
    0.000191749999999935 × 0.423018222948575 × 6371000     		du = 516.775664619055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13394154)-sin(-1.13402266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423091726106352-0.423018222948575)×R²
    abs(1.70789586-1.70770411)×7.35031577767664e-05×R²
    0.000191749999999935×7.35031577767664e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.35031577767664e-05×40589641000000     		ar = 267100.887535522m²