Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25288 / 24518
↖ ↑ ↗
← S 66.258011°
E 97.822266°		 ← 491.83 m → S 66.258011°
E 97.833252°		 →
↑
491.84 m
↓
↑
491.84 m
↓
S 66.262434°
E 97.822266°		 ← 491.74 m →
241 881 m²		 S 66.262434°
E 97.833252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771743774414062 y=0.748245239257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771743774414062 × 215)
    floor (0.771743774414062 × 32768)
    floor (25288.5)     		tx = 25288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748245239257812 × 215)
    floor (0.748245239257812 × 32768)
    floor (24518.5)     		ty = 24518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25288 / 24518 ti = "15/25288/24518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25288/24518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25288 ÷ 215
    25288 ÷ 32768     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24518 ÷ 215
    24518 ÷ 32768     		y = 0.74822998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74822998046875 × 2 - 1) × π
    -0.4964599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55967496603815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55967496603815))-π/2
    2×atan(0.210204383661849)-π/2
    2×0.207187937211716-π/2
    0.414375874423433-1.57079632675     		φ = -1.15642045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15642045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.258011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25288 KachelY 24518 1.70732062 -1.15642045 97.822266 -66.258011
    Oben rechts KachelX + 1 25289 KachelY 24518 1.70751236 -1.15642045 97.833252 -66.258011
    Unten links KachelX 25288 KachelY + 1 24519 1.70732062 -1.15649765 97.822266 -66.262434
    Unten rechts KachelX + 1 25289 KachelY + 1 24519 1.70751236 -1.15649765 97.833252 -66.262434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15642045--1.15649765) × R
    7.71999999999995e-05 × 6371000     		dl = 491.841199999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15642045--1.15649765) × R
    7.71999999999995e-05 × 6371000     		dr = 491.841199999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70751236) × cos(-1.15642045) × R
    0.000191739999999996 × 0.402618706564478 × 6371000     		do = 491.829163885593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70751236) × cos(-1.15649765) × R
    0.000191739999999996 × 0.402548038971972 × 6371000     		du = 491.742838083117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15642045)-sin(-1.15649765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402618706564478-0.402548038971972)×R²
    abs(1.70751236-1.70732062)×7.06675925055134e-05×R²
    0.000191739999999996×7.06675925055134e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.06675925055134e-05×40589641000000     		ar = 241880.616987404m²