Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25288 / 24262
↖ ↑ ↗
← S 65.099898°
E 97.822266°		 ← 514.33 m → S 65.099898°
E 97.833252°		 →
↑
514.33 m
↓
↑
514.33 m
↓
S 65.104524°
E 97.822266°		 ← 514.24 m →
264 512 m²		 S 65.104524°
E 97.833252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24262 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771743774414062 y=0.740432739257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771743774414062 × 215)
    floor (0.771743774414062 × 32768)
    floor (25288.5)     		tx = 25288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740432739257812 × 215)
    floor (0.740432739257812 × 32768)
    floor (24262.5)     		ty = 24262
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25288 / 24262 ti = "15/25288/24262"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25288/24262.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25288 ÷ 215
    25288 ÷ 32768     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24262 ÷ 215
    24262 ÷ 32768     		y = 0.74041748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.4808349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51058758082721
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51058758082721))-π/2
    2×atan(0.220780213619043)-π/2
    2×0.217294377617468-π/2
    0.434588755234937-1.57079632675     		φ = -1.13620757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13620757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.099898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25288 KachelY 24262 1.70732062 -1.13620757 97.822266 -65.099898
    Oben rechts KachelX + 1 25289 KachelY 24262 1.70751236 -1.13620757 97.833252 -65.099898
    Unten links KachelX 25288 KachelY + 1 24263 1.70732062 -1.13628830 97.822266 -65.104524
    Unten rechts KachelX + 1 25289 KachelY + 1 24263 1.70751236 -1.13628830 97.833252 -65.104524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13620757--1.13628830) × R
    8.07299999998623e-05 × 6371000     		dl = 514.330829999123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13620757--1.13628830) × R
    8.07299999998623e-05 × 6371000     		dr = 514.330829999123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70751236) × cos(-1.13620757) × R
    0.000191739999999996 × 0.421037421599684 × 6371000     		do = 514.329015650831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70751236) × cos(-1.13628830) × R
    0.000191739999999996 × 0.420964194624736 × 6371000     		du = 514.239563369366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13620757)-sin(-1.13628830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421037421599684-0.420964194624736)×R²
    abs(1.70751236-1.70732062)×7.32269749482151e-05×R²
    0.000191739999999996×7.32269749482151e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.32269749482151e-05×40589641000000     		ar = 264512.265622779m²