Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25287 / 24536
↖ ↑ ↗
← S 66.337505°
E 97.811279°		 ← 490.30 m → S 66.337505°
E 97.822266°		 →
↑
490.25 m
↓
↑
490.25 m
↓
S 66.341914°
E 97.811279°		 ← 490.22 m →
240 349 m²		 S 66.341914°
E 97.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771713256835938 y=0.748794555664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771713256835938 × 215)
    floor (0.771713256835938 × 32768)
    floor (25287.5)     		tx = 25287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748794555664062 × 215)
    floor (0.748794555664062 × 32768)
    floor (24536.5)     		ty = 24536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25287 / 24536 ti = "15/25287/24536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25287/24536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25287 ÷ 215
    25287 ÷ 32768     		x = 0.771697998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24536 ÷ 215
    24536 ÷ 32768     		y = 0.748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771697998046875 × 2 - 1) × π
    0.54339599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70712887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748779296875 × 2 - 1) × π
    -0.49755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56312642281079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70712887} λ = 1.70712887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56312642281079))-π/2
    2×atan(0.209480122914533)-π/2
    2×0.206494223328084-π/2
    0.412988446656169-1.57079632675     		φ = -1.15780788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70712887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.811279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15780788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.337505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25287 KachelY 24536 1.70712887 -1.15780788 97.811279 -66.337505
    Oben rechts KachelX + 1 25288 KachelY 24536 1.70732062 -1.15780788 97.822266 -66.337505
    Unten links KachelX 25287 KachelY + 1 24537 1.70712887 -1.15788483 97.811279 -66.341914
    Unten rechts KachelX + 1 25288 KachelY + 1 24537 1.70732062 -1.15788483 97.822266 -66.341914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15780788--1.15788483) × R
    7.69499999999645e-05 × 6371000     		dl = 490.248449999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15780788--1.15788483) × R
    7.69499999999645e-05 × 6371000     		dr = 490.248449999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70712887-1.70732062) × cos(-1.15780788) × R
    0.000191749999999935 × 0.40134831073675 × 6371000     		do = 490.302849317044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70712887-1.70732062) × cos(-1.15788483) × R
    0.000191749999999935 × 0.401277829080841 × 6371000     		du = 490.216746159781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15780788)-sin(-1.15788483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40134831073675-0.401277829080841)×R²
    abs(1.70732062-1.70712887)×7.04816559083943e-05×R²
    0.000191749999999935×7.04816559083943e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.04816559083943e-05×40589641000000     		ar = 240349.106057629m²