Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25287 / 24521
↖ ↑ ↗
← S 66.271277°
E 97.811279°		 ← 491.60 m → S 66.271277°
E 97.822266°		 →
↑
491.59 m
↓
↑
491.59 m
↓
S 66.275698°
E 97.811279°		 ← 491.51 m →
241 641 m²		 S 66.275698°
E 97.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771713256835938 y=0.748336791992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771713256835938 × 215)
    floor (0.771713256835938 × 32768)
    floor (25287.5)     		tx = 25287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748336791992188 × 215)
    floor (0.748336791992188 × 32768)
    floor (24521.5)     		ty = 24521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25287 / 24521 ti = "15/25287/24521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25287/24521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25287 ÷ 215
    25287 ÷ 32768     		x = 0.771697998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24521 ÷ 215
    24521 ÷ 32768     		y = 0.748321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771697998046875 × 2 - 1) × π
    0.54339599609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70712887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748321533203125 × 2 - 1) × π
    -0.49664306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56025020883359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70712887} λ = 1.70712887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56025020883359))-π/2
    2×atan(0.210083499876674)-π/2
    2×0.207072165941106-π/2
    0.414144331882213-1.57079632675     		φ = -1.15665199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70712887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.811279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15665199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.271277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25287 KachelY 24521 1.70712887 -1.15665199 97.811279 -66.271277
    Oben rechts KachelX + 1 25288 KachelY 24521 1.70732062 -1.15665199 97.822266 -66.271277
    Unten links KachelX 25287 KachelY + 1 24522 1.70712887 -1.15672915 97.811279 -66.275698
    Unten rechts KachelX + 1 25288 KachelY + 1 24522 1.70732062 -1.15672915 97.822266 -66.275698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15665199--1.15672915) × R
    7.71600000000205e-05 × 6371000     		dl = 491.586360000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15665199--1.15672915) × R
    7.71600000000205e-05 × 6371000     		dr = 491.586360000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70712887-1.70732062) × cos(-1.15665199) × R
    0.000191749999999935 × 0.402406751517676 × 6371000     		do = 491.595882118824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70712887-1.70732062) × cos(-1.15672915) × R
    0.000191749999999935 × 0.402336113350614 × 6371000     		du = 491.509587761392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15665199)-sin(-1.15672915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402406751517676-0.402336113350614)×R²
    abs(1.70732062-1.70712887)×7.06381670624867e-05×R²
    0.000191749999999935×7.06381670624867e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.06381670624867e-05×40589641000000     		ar = 241640.619837743m²