Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25286 / 24686
↖ ↑ ↗
← S 66.990256°
E 97.800293°		 ← 477.52 m → S 66.990256°
E 97.811279°		 →
↑
477.51 m
↓
↑
477.51 m
↓
S 66.994551°
E 97.800293°		 ← 477.44 m →
228 001 m²		 S 66.994551°
E 97.811279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771682739257812 y=0.753372192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771682739257812 × 215)
    floor (0.771682739257812 × 32768)
    floor (25286.5)     		tx = 25286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753372192382812 × 215)
    floor (0.753372192382812 × 32768)
    floor (24686.5)     		ty = 24686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25286 / 24686 ti = "15/25286/24686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25286/24686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25286 ÷ 215
    25286 ÷ 32768     		x = 0.77166748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24686 ÷ 215
    24686 ÷ 32768     		y = 0.75335693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77166748046875 × 2 - 1) × π
    0.5433349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70693712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75335693359375 × 2 - 1) × π
    -0.5067138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59188856258282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70693712} λ = 1.70693712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59188856258282))-π/2
    2×atan(0.203540848892925)-π/2
    2×0.200797892350903-π/2
    0.401595784701806-1.57079632675     		φ = -1.16920054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70693712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.800293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16920054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.990256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25286 KachelY 24686 1.70693712 -1.16920054 97.800293 -66.990256
    Oben rechts KachelX + 1 25287 KachelY 24686 1.70712887 -1.16920054 97.811279 -66.990256
    Unten links KachelX 25286 KachelY + 1 24687 1.70693712 -1.16927549 97.800293 -66.994551
    Unten rechts KachelX + 1 25287 KachelY + 1 24687 1.70712887 -1.16927549 97.811279 -66.994551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16920054--1.16927549) × R
    7.4949999999907e-05 × 6371000     		dl = 477.506449999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16920054--1.16927549) × R
    7.4949999999907e-05 × 6371000     		dr = 477.506449999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70693712-1.70712887) × cos(-1.16920054) × R
    0.000191749999999935 × 0.390887662822641 × 6371000     		do = 477.523711244742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70693712-1.70712887) × cos(-1.16927549) × R
    0.000191749999999935 × 0.390818674867254 × 6371000     		du = 477.439432850665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16920054)-sin(-1.16927549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390887662822641-0.390818674867254)×R²
    abs(1.70712887-1.70693712)×6.8987955386457e-05×R²
    0.000191749999999935×6.8987955386457e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.8987955386457e-05×40589641000000     		ar = 228000.53051568m²