Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25284 / 24772
↖ ↑ ↗
← S 67.356785°
E 97.778321°		 ← 470.30 m → S 67.356785°
E 97.789306°		 →
↑
470.24 m
↓
↑
470.24 m
↓
S 67.361014°
E 97.778321°		 ← 470.21 m →
221 134 m²		 S 67.361014°
E 97.789306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771621704101562 y=0.755996704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771621704101562 × 215)
    floor (0.771621704101562 × 32768)
    floor (25284.5)     		tx = 25284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755996704101562 × 215)
    floor (0.755996704101562 × 32768)
    floor (24772.5)     		ty = 24772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25284 / 24772 ti = "15/25284/24772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25284/24772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25284 ÷ 215
    25284 ÷ 32768     		x = 0.7716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24772 ÷ 215
    24772 ÷ 32768     		y = 0.7559814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7716064453125 × 2 - 1) × π
    0.543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70655363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7559814453125 × 2 - 1) × π
    -0.511962890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60837885605212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70655363} λ = 1.70655363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60837885605212))-π/2
    2×atan(0.200211923476042)-π/2
    2×0.197599324115864-π/2
    0.395198648231729-1.57079632675     		φ = -1.17559768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70655363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.778321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17559768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.356785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25284 KachelY 24772 1.70655363 -1.17559768 97.778321 -67.356785
    Oben rechts KachelX + 1 25285 KachelY 24772 1.70674537 -1.17559768 97.789306 -67.356785
    Unten links KachelX 25284 KachelY + 1 24773 1.70655363 -1.17567149 97.778321 -67.361014
    Unten rechts KachelX + 1 25285 KachelY + 1 24773 1.70674537 -1.17567149 97.789306 -67.361014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17559768--1.17567149) × R
    7.3809999999952e-05 × 6371000     		dl = 470.243509999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17559768--1.17567149) × R
    7.3809999999952e-05 × 6371000     		dr = 470.243509999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70655363-1.70674537) × cos(-1.17559768) × R
    0.000191739999999996 × 0.384991531523879 × 6371000     		do = 470.2962380167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70655363-1.70674537) × cos(-1.17567149) × R
    0.000191739999999996 × 0.384923409742273 × 6371000     		du = 470.213022114548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17559768)-sin(-1.17567149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384991531523879-0.384923409742273)×R²
    abs(1.70674537-1.70655363)×6.81217816065893e-05×R²
    0.000191739999999996×6.81217816065893e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.81217816065893e-05×40589641000000     		ar = 221134.187936208m²