Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25284 / 24452
↖ ↑ ↗
← S 65.964377°
E 97.778321°		 ← 497.55 m → S 65.964377°
E 97.789306°		 →
↑
497.51 m
↓
↑
497.51 m
↓
S 65.968851°
E 97.778321°		 ← 497.47 m →
247 517 m²		 S 65.968851°
E 97.789306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771621704101562 y=0.746231079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771621704101562 × 215)
    floor (0.771621704101562 × 32768)
    floor (25284.5)     		tx = 25284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746231079101562 × 215)
    floor (0.746231079101562 × 32768)
    floor (24452.5)     		ty = 24452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25284 / 24452 ti = "15/25284/24452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25284/24452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25284 ÷ 215
    25284 ÷ 32768     		x = 0.7716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24452 ÷ 215
    24452 ÷ 32768     		y = 0.7462158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7716064453125 × 2 - 1) × π
    0.543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70655363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7462158203125 × 2 - 1) × π
    -0.492431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54701962453845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70655363} λ = 1.70655363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54701962453845))-π/2
    2×atan(0.21288149607784)-π/2
    2×0.20975037806679-π/2
    0.41950075613358-1.57079632675     		φ = -1.15129557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70655363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.778321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15129557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.964377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25284 KachelY 24452 1.70655363 -1.15129557 97.778321 -65.964377
    Oben rechts KachelX + 1 25285 KachelY 24452 1.70674537 -1.15129557 97.789306 -65.964377
    Unten links KachelX 25284 KachelY + 1 24453 1.70655363 -1.15137366 97.778321 -65.968851
    Unten rechts KachelX + 1 25285 KachelY + 1 24453 1.70674537 -1.15137366 97.789306 -65.968851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15129557--1.15137366) × R
    7.80899999999196e-05 × 6371000     		dl = 497.511389999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15129557--1.15137366) × R
    7.80899999999196e-05 × 6371000     		dr = 497.511389999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70655363-1.70674537) × cos(-1.15129557) × R
    0.000191739999999996 × 0.407304548813524 × 6371000     		do = 497.553274161326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70655363-1.70674537) × cos(-1.15137366) × R
    0.000191739999999996 × 0.407233228568344 × 6371000     		du = 497.466151094307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15129557)-sin(-1.15137366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407304548813524-0.407233228568344)×R²
    abs(1.70674537-1.70655363)×7.13202451802508e-05×R²
    0.000191739999999996×7.13202451802508e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.13202451802508e-05×40589641000000     		ar = 247516.748794061m²