Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25284 / 24388
↖ ↑ ↗
← S 65.676382°
E 97.778321°		 ← 503.15 m → S 65.676382°
E 97.789306°		 →
↑
503.12 m
↓
↑
503.12 m
↓
S 65.680906°
E 97.778321°		 ← 503.07 m →
253 124 m²		 S 65.680906°
E 97.789306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771621704101562 y=0.744277954101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771621704101562 × 215)
    floor (0.771621704101562 × 32768)
    floor (25284.5)     		tx = 25284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744277954101562 × 215)
    floor (0.744277954101562 × 32768)
    floor (24388.5)     		ty = 24388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25284 / 24388 ti = "15/25284/24388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25284/24388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25284 ÷ 215
    25284 ÷ 32768     		x = 0.7716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24388 ÷ 215
    24388 ÷ 32768     		y = 0.7442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7716064453125 × 2 - 1) × π
    0.543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70655363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.488525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53474777823572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70655363} λ = 1.70655363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53474777823572))-π/2
    2×atan(0.215510040638065)-π/2
    2×0.212263614577117-π/2
    0.424527229154234-1.57079632675     		φ = -1.14626910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70655363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.778321°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14626910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.676382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25284 KachelY 24388 1.70655363 -1.14626910 97.778321 -65.676382
    Oben rechts KachelX + 1 25285 KachelY 24388 1.70674537 -1.14626910 97.789306 -65.676382
    Unten links KachelX 25284 KachelY + 1 24389 1.70655363 -1.14634807 97.778321 -65.680906
    Unten rechts KachelX + 1 25285 KachelY + 1 24389 1.70674537 -1.14634807 97.789306 -65.680906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14626910--1.14634807) × R
    7.89699999999005e-05 × 6371000     		dl = 503.117869999366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14626910--1.14634807) × R
    7.89699999999005e-05 × 6371000     		dr = 503.117869999366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70655363-1.70674537) × cos(-1.14626910) × R
    0.000191739999999996 × 0.411890020977881 × 6371000     		do = 503.154774796656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70655363-1.70674537) × cos(-1.14634807) × R
    0.000191739999999996 × 0.411818059578974 × 6371000     		du = 503.066868511926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14626910)-sin(-1.14634807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411890020977881-0.411818059578974)×R²
    abs(1.70674537-1.70655363)×7.19613989075829e-05×R²
    0.000191739999999996×7.19613989075829e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.19613989075829e-05×40589641000000     		ar = 253124.045096134m²