Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25278 / 24466
↖ ↑ ↗
← S 66.026948°
E 97.712402°		 ← 496.36 m → S 66.026948°
E 97.723389°		 →
↑
496.30 m
↓
↑
496.30 m
↓
S 66.031411°
E 97.712402°		 ← 496.27 m →
246 323 m²		 S 66.031411°
E 97.723389°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771438598632812 y=0.746658325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771438598632812 × 215)
    floor (0.771438598632812 × 32768)
    floor (25278.5)     		tx = 25278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746658325195312 × 215)
    floor (0.746658325195312 × 32768)
    floor (24466.5)     		ty = 24466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25278 / 24466 ti = "15/25278/24466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25278/24466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25278 ÷ 215
    25278 ÷ 32768     		x = 0.77142333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24466 ÷ 215
    24466 ÷ 32768     		y = 0.74664306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77142333984375 × 2 - 1) × π
    0.5428466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70540314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74664306640625 × 2 - 1) × π
    -0.4932861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54970409091718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70540314} λ = 1.70540314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54970409091718))-π/2
    2×atan(0.212310789223374)-π/2
    2×0.209204350115355-π/2
    0.41840870023071-1.57079632675     		φ = -1.15238763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70540314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.712402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15238763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.026948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25278 KachelY 24466 1.70540314 -1.15238763 97.712402 -66.026948
    Oben rechts KachelX + 1 25279 KachelY 24466 1.70559489 -1.15238763 97.723389 -66.026948
    Unten links KachelX 25278 KachelY + 1 24467 1.70540314 -1.15246553 97.712402 -66.031411
    Unten rechts KachelX + 1 25279 KachelY + 1 24467 1.70559489 -1.15246553 97.723389 -66.031411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15238763--1.15246553) × R
    7.78999999999641e-05 × 6371000     		dl = 496.300899999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15238763--1.15246553) × R
    7.78999999999641e-05 × 6371000     		dr = 496.300899999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70540314-1.70559489) × cos(-1.15238763) × R
    0.000191749999999935 × 0.406306936040776 × 6371000     		do = 496.360500614483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70540314-1.70559489) × cos(-1.15246553) × R
    0.000191749999999935 × 0.406235754722646 × 6371000     		du = 496.273542722389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15238763)-sin(-1.15246553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406306936040776-0.406235754722646)×R²
    abs(1.70559489-1.70540314)×7.11813181298315e-05×R²
    0.000191749999999935×7.11813181298315e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.11813181298315e-05×40589641000000     		ar = 246322.584663831m²