Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25276 / 24769
↖ ↑ ↗
← S 67.344093°
E 97.690430°		 ← 470.55 m → S 67.344093°
E 97.701416°		 →
↑
470.50 m
↓
↑
470.50 m
↓
S 67.348325°
E 97.690430°		 ← 470.46 m →
221 372 m²		 S 67.348325°
E 97.701416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771377563476562 y=0.755905151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771377563476562 × 215)
    floor (0.771377563476562 × 32768)
    floor (25276.5)     		tx = 25276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755905151367188 × 215)
    floor (0.755905151367188 × 32768)
    floor (24769.5)     		ty = 24769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25276 / 24769 ti = "15/25276/24769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25276/24769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25276 ÷ 215
    25276 ÷ 32768     		x = 0.7713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24769 ÷ 215
    24769 ÷ 32768     		y = 0.755889892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7713623046875 × 2 - 1) × π
    0.542724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70501965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755889892578125 × 2 - 1) × π
    -0.51177978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60780361325668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70501965} λ = 1.70501965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60780361325668))-π/2
    2×atan(0.200327127074427)-π/2
    2×0.197710085316881-π/2
    0.395420170633762-1.57079632675     		φ = -1.17537616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70501965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.690430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17537616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.344093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25276 KachelY 24769 1.70501965 -1.17537616 97.690430 -67.344093
    Oben rechts KachelX + 1 25277 KachelY 24769 1.70521139 -1.17537616 97.701416 -67.344093
    Unten links KachelX 25276 KachelY + 1 24770 1.70501965 -1.17545001 97.690430 -67.348325
    Unten rechts KachelX + 1 25277 KachelY + 1 24770 1.70521139 -1.17545001 97.701416 -67.348325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17537616--1.17545001) × R
    7.3850000000153e-05 × 6371000     		dl = 470.498350000974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17537616--1.17545001) × R
    7.3850000000153e-05 × 6371000     		dr = 470.498350000974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70501965-1.70521139) × cos(-1.17537616) × R
    0.000191739999999996 × 0.385195967337939 × 6371000     		do = 470.545971806655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70501965-1.70521139) × cos(-1.17545001) × R
    0.000191739999999996 × 0.385127814937679 × 6371000     		du = 470.462718501505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17537616)-sin(-1.17545001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385195967337939-0.385127814937679)×R²
    abs(1.70521139-1.70501965)×6.81524002596468e-05×R²
    0.000191739999999996×6.81524002596468e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.81524002596468e-05×40589641000000     		ar = 221371.518163746m²