Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25275 / 24506
↖ ↑ ↗
← S 66.204876°
E 97.679443°		 ← 492.89 m → S 66.204876°
E 97.690430°		 →
↑
492.86 m
↓
↑
492.86 m
↓
S 66.209308°
E 97.679443°		 ← 492.81 m →
242 906 m²		 S 66.209308°
E 97.690430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771347045898438 y=0.747879028320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771347045898438 × 215)
    floor (0.771347045898438 × 32768)
    floor (25275.5)     		tx = 25275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747879028320312 × 215)
    floor (0.747879028320312 × 32768)
    floor (24506.5)     		ty = 24506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25275 / 24506 ti = "15/25275/24506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25275/24506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25275 ÷ 215
    25275 ÷ 32768     		x = 0.771331787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24506 ÷ 215
    24506 ÷ 32768     		y = 0.74786376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771331787109375 × 2 - 1) × π
    0.54266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70482790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.4957275390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55737399485638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70482790} λ = 1.70482790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55737399485638))-π/2
    2×atan(0.210688614778211)-π/2
    2×0.207651632317362-π/2
    0.415303264634724-1.57079632675     		φ = -1.15549306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70482790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.679443°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15549306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.204876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25275 KachelY 24506 1.70482790 -1.15549306 97.679443 -66.204876
    Oben rechts KachelX + 1 25276 KachelY 24506 1.70501965 -1.15549306 97.690430 -66.204876
    Unten links KachelX 25275 KachelY + 1 24507 1.70482790 -1.15557042 97.679443 -66.209308
    Unten rechts KachelX + 1 25276 KachelY + 1 24507 1.70501965 -1.15557042 97.690430 -66.209308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15549306--1.15557042) × R
    7.73600000001373e-05 × 6371000     		dl = 492.860560000875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15549306--1.15557042) × R
    7.73600000001373e-05 × 6371000     		dr = 492.860560000875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70482790-1.70501965) × cos(-1.15549306) × R
    0.000191750000000157 × 0.403467436234007 × 6371000     		do = 492.891656200739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70482790-1.70501965) × cos(-1.15557042) × R
    0.000191750000000157 × 0.403396651090615 × 6371000     		du = 492.805182291255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15549306)-sin(-1.15557042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403467436234007-0.403396651090615)×R²
    abs(1.70501965-1.70482790)×7.07851433914275e-05×R²
    0.000191750000000157×7.07851433914275e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.07851433914275e-05×40589641000000     		ar = 242905.548026406m²