Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25274 / 24646
↖ ↑ ↗
← S 66.817872°
E 97.668457°		 ← 480.90 m → S 66.817872°
E 97.679443°		 →
↑
480.82 m
↓
↑
480.82 m
↓
S 66.822196°
E 97.668457°		 ← 480.82 m →
231 208 m²		 S 66.822196°
E 97.679443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771316528320312 y=0.752151489257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771316528320312 × 215)
    floor (0.771316528320312 × 32768)
    floor (25274.5)     		tx = 25274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752151489257812 × 215)
    floor (0.752151489257812 × 32768)
    floor (24646.5)     		ty = 24646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25274 / 24646 ti = "15/25274/24646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25274/24646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25274 ÷ 215
    25274 ÷ 32768     		x = 0.77130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24646 ÷ 215
    24646 ÷ 32768     		y = 0.75213623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77130126953125 × 2 - 1) × π
    0.5426025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70463615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75213623046875 × 2 - 1) × π
    -0.5042724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58421865864362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70463615} λ = 1.70463615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58421865864362))-π/2
    2×atan(0.205107989879487)-π/2
    2×0.202302229314803-π/2
    0.404604458629605-1.57079632675     		φ = -1.16619187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70463615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.668457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16619187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.817872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25274 KachelY 24646 1.70463615 -1.16619187 97.668457 -66.817872
    Oben rechts KachelX + 1 25275 KachelY 24646 1.70482790 -1.16619187 97.679443 -66.817872
    Unten links KachelX 25274 KachelY + 1 24647 1.70463615 -1.16626734 97.668457 -66.822196
    Unten rechts KachelX + 1 25275 KachelY + 1 24647 1.70482790 -1.16626734 97.679443 -66.822196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16619187--1.16626734) × R
    7.54700000000774e-05 × 6371000     		dl = 480.819370000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16619187--1.16626734) × R
    7.54700000000774e-05 × 6371000     		dr = 480.819370000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70463615-1.70482790) × cos(-1.16619187) × R
    0.000191749999999935 × 0.393655184849278 × 6371000     		do = 480.90462477772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70463615-1.70482790) × cos(-1.16626734) × R
    0.000191749999999935 × 0.393585807313672 × 6371000     		du = 480.819870457156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16619187)-sin(-1.16626734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393655184849278-0.393585807313672)×R²
    abs(1.70482790-1.70463615)×6.93775356052639e-05×R²
    0.000191749999999935×6.93775356052639e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.93775356052639e-05×40589641000000     		ar = 231207.883066807m²