Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25269 / 24621
↖ ↑ ↗
← S 66.709513°
E 97.613525°		 ← 483.03 m → S 66.709513°
E 97.624512°		 →
↑
482.99 m
↓
↑
482.99 m
↓
S 66.713856°
E 97.613525°		 ← 482.94 m →
233 275 m²		 S 66.713856°
E 97.624512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771163940429688 y=0.751388549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771163940429688 × 215)
    floor (0.771163940429688 × 32768)
    floor (25269.5)     		tx = 25269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751388549804688 × 215)
    floor (0.751388549804688 × 32768)
    floor (24621.5)     		ty = 24621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25269 / 24621 ti = "15/25269/24621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25269/24621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25269 ÷ 215
    25269 ÷ 32768     		x = 0.771148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24621 ÷ 215
    24621 ÷ 32768     		y = 0.751373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771148681640625 × 2 - 1) × π
    0.54229736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70367741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.50274658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57942496868161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70367741} λ = 1.70367741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57942496868161))-π/2
    2×atan(0.206093574397656)-π/2
    2×0.203247841165748-π/2
    0.406495682331497-1.57079632675     		φ = -1.16430064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70367741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.613525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16430064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.709513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25269 KachelY 24621 1.70367741 -1.16430064 97.613525 -66.709513
    Oben rechts KachelX + 1 25270 KachelY 24621 1.70386916 -1.16430064 97.624512 -66.709513
    Unten links KachelX 25269 KachelY + 1 24622 1.70367741 -1.16437645 97.613525 -66.713856
    Unten rechts KachelX + 1 25270 KachelY + 1 24622 1.70386916 -1.16437645 97.624512 -66.713856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16430064--1.16437645) × R
    7.58100000000095e-05 × 6371000     		dl = 482.98551000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16430064--1.16437645) × R
    7.58100000000095e-05 × 6371000     		dr = 482.98551000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70367741-1.70386916) × cos(-1.16430064) × R
    0.000191749999999935 × 0.395393008451368 × 6371000     		do = 483.02761829961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70367741-1.70386916) × cos(-1.16437645) × R
    0.000191749999999935 × 0.395323374917439 × 6371000     		du = 482.942551241445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16430064)-sin(-1.16437645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395393008451368-0.395323374917439)×R²
    abs(1.70386916-1.70367741)×6.96335339296916e-05×R²
    0.000191749999999935×6.96335339296916e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.96335339296916e-05×40589641000000     		ar = 233274.79760188m²