Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25269 / 24501
↖ ↑ ↗
← S 66.182703°
E 97.613525°		 ← 493.32 m → S 66.182703°
E 97.624512°		 →
↑
493.31 m
↓
↑
493.31 m
↓
S 66.187139°
E 97.613525°		 ← 493.24 m →
243 339 m²		 S 66.187139°
E 97.624512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771163940429688 y=0.747726440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771163940429688 × 215)
    floor (0.771163940429688 × 32768)
    floor (25269.5)     		tx = 25269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747726440429688 × 215)
    floor (0.747726440429688 × 32768)
    floor (24501.5)     		ty = 24501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25269 / 24501 ti = "15/25269/24501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25269/24501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25269 ÷ 215
    25269 ÷ 32768     		x = 0.771148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24501 ÷ 215
    24501 ÷ 32768     		y = 0.747711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771148681640625 × 2 - 1) × π
    0.54229736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70367741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.49542236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55641525686398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70367741} λ = 1.70367741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55641525686398))-π/2
    2×atan(0.210890706818945)-π/2
    2×0.207845126949655-π/2
    0.415690253899311-1.57079632675     		φ = -1.15510607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70367741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.613525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15510607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.182703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25269 KachelY 24501 1.70367741 -1.15510607 97.613525 -66.182703
    Oben rechts KachelX + 1 25270 KachelY 24501 1.70386916 -1.15510607 97.624512 -66.182703
    Unten links KachelX 25269 KachelY + 1 24502 1.70367741 -1.15518350 97.613525 -66.187139
    Unten rechts KachelX + 1 25270 KachelY + 1 24502 1.70386916 -1.15518350 97.624512 -66.187139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15510607--1.15518350) × R
    7.74299999999339e-05 × 6371000     		dl = 493.306529999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15510607--1.15518350) × R
    7.74299999999339e-05 × 6371000     		dr = 493.306529999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70367741-1.70386916) × cos(-1.15510607) × R
    0.000191749999999935 × 0.403821499542996 × 6371000     		do = 493.324193835414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70367741-1.70386916) × cos(-1.15518350) × R
    0.000191749999999935 × 0.403750662441837 × 6371000     		du = 493.237656452282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15510607)-sin(-1.15518350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403821499542996-0.403750662441837)×R²
    abs(1.70386916-1.70367741)×7.08371011589604e-05×R²
    0.000191749999999935×7.08371011589604e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.08371011589604e-05×40589641000000     		ar = 243338.701619259m²