Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25266 / 24491
↖ ↑ ↗
← S 66.138299°
E 97.580566°		 ← 494.19 m → S 66.138299°
E 97.591553°		 →
↑
494.13 m
↓
↑
494.13 m
↓
S 66.142743°
E 97.580566°		 ← 494.10 m →
244 175 m²		 S 66.142743°
E 97.591553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771072387695312 y=0.747421264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771072387695312 × 215)
    floor (0.771072387695312 × 32768)
    floor (25266.5)     		tx = 25266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747421264648438 × 215)
    floor (0.747421264648438 × 32768)
    floor (24491.5)     		ty = 24491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25266 / 24491 ti = "15/25266/24491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25266/24491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25266 ÷ 215
    25266 ÷ 32768     		x = 0.77105712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24491 ÷ 215
    24491 ÷ 32768     		y = 0.747406005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77105712890625 × 2 - 1) × π
    0.5421142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70310217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.49481201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55449778087918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70310217} λ = 1.70310217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55449778087918))-π/2
    2×atan(0.211295472625027)-π/2
    2×0.20823262569395-π/2
    0.4164652513879-1.57079632675     		φ = -1.15433108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70310217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.580566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15433108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.138299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25266 KachelY 24491 1.70310217 -1.15433108 97.580566 -66.138299
    Oben rechts KachelX + 1 25267 KachelY 24491 1.70329392 -1.15433108 97.591553 -66.138299
    Unten links KachelX 25266 KachelY + 1 24492 1.70310217 -1.15440864 97.580566 -66.142743
    Unten rechts KachelX + 1 25267 KachelY + 1 24492 1.70329392 -1.15440864 97.591553 -66.142743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15433108--1.15440864) × R
    7.7560000000032e-05 × 6371000     		dl = 494.134760000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15433108--1.15440864) × R
    7.7560000000032e-05 × 6371000     		dr = 494.134760000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70310217-1.70329392) × cos(-1.15433108) × R
    0.000191749999999935 × 0.404530368347528 × 6371000     		do = 494.19017579013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70310217-1.70329392) × cos(-1.15440864) × R
    0.000191749999999935 × 0.404459436605554 × 6371000     		du = 494.103522790064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15433108)-sin(-1.15440864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404530368347528-0.404459436605554)×R²
    abs(1.70329392-1.70310217)×7.09317419738675e-05×R²
    0.000191749999999935×7.09317419738675e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.09317419738675e-05×40589641000000     		ar = 244175.134901097m²