Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25265 / 24462
↖ ↑ ↗
← S 66.009086°
E 97.569580°		 ← 496.71 m → S 66.009086°
E 97.580566°		 →
↑
496.68 m
↓
↑
496.68 m
↓
S 66.013552°
E 97.569580°		 ← 496.62 m →
246 685 m²		 S 66.013552°
E 97.580566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.771041870117188 y=0.746536254882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.771041870117188 × 215)
    floor (0.771041870117188 × 32768)
    floor (25265.5)     		tx = 25265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746536254882812 × 215)
    floor (0.746536254882812 × 32768)
    floor (24462.5)     		ty = 24462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25265 / 24462 ti = "15/25265/24462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25265/24462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25265 ÷ 215
    25265 ÷ 32768     		x = 0.771026611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24462 ÷ 215
    24462 ÷ 32768     		y = 0.74652099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771026611328125 × 2 - 1) × π
    0.54205322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70291042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74652099609375 × 2 - 1) × π
    -0.4930419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54893710052325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70291042} λ = 1.70291042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54893710052325))-π/2
    2×atan(0.21247369202369)-π/2
    2×0.20936022148557-π/2
    0.41872044297114-1.57079632675     		φ = -1.15207588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70291042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.569580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15207588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.009086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25265 KachelY 24462 1.70291042 -1.15207588 97.569580 -66.009086
    Oben rechts KachelX + 1 25266 KachelY 24462 1.70310217 -1.15207588 97.580566 -66.009086
    Unten links KachelX 25265 KachelY + 1 24463 1.70291042 -1.15215384 97.569580 -66.013552
    Unten rechts KachelX + 1 25266 KachelY + 1 24463 1.70310217 -1.15215384 97.580566 -66.013552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15207588--1.15215384) × R
    7.79600000000436e-05 × 6371000     		dl = 496.683160000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15207588--1.15215384) × R
    7.79600000000436e-05 × 6371000     		dr = 496.683160000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70291042-1.70310217) × cos(-1.15207588) × R
    0.000191749999999935 × 0.406591773694102 × 6371000     		do = 496.708469471664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70291042-1.70310217) × cos(-1.15215384) × R
    0.000191749999999935 × 0.406520547427365 × 6371000     		du = 496.621456668587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15207588)-sin(-1.15215384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.406591773694102-0.406520547427365)×R²
    abs(1.70310217-1.70291042)×7.12262667370567e-05×R²
    0.000191749999999935×7.12262667370567e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.12262667370567e-05×40589641000000     		ar = 246685.123443938m²