Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25262 / 24874
↖ ↑ ↗
← S 67.784335°
E 97.536621°		 ← 461.89 m → S 67.784335°
E 97.547608°		 →
↑
461.83 m
↓
↑
461.83 m
↓
S 67.788488°
E 97.536621°		 ← 461.81 m →
213 299 m²		 S 67.788488°
E 97.547608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770950317382812 y=0.759109497070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770950317382812 × 215)
    floor (0.770950317382812 × 32768)
    floor (25262.5)     		tx = 25262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759109497070312 × 215)
    floor (0.759109497070312 × 32768)
    floor (24874.5)     		ty = 24874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25262 / 24874 ti = "15/25262/24874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25262/24874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25262 ÷ 215
    25262 ÷ 32768     		x = 0.77093505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24874 ÷ 215
    24874 ÷ 32768     		y = 0.75909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77093505859375 × 2 - 1) × π
    0.5418701171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70233518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.5181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62793711109711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70233518} λ = 1.70233518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62793711109711))-π/2
    2×atan(0.196334172248131)-π/2
    2×0.193868253457464-π/2
    0.387736506914928-1.57079632675     		φ = -1.18305982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70233518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.536621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18305982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.784335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25262 KachelY 24874 1.70233518 -1.18305982 97.536621 -67.784335
    Oben rechts KachelX + 1 25263 KachelY 24874 1.70252693 -1.18305982 97.547608 -67.784335
    Unten links KachelX 25262 KachelY + 1 24875 1.70233518 -1.18313231 97.536621 -67.788488
    Unten rechts KachelX + 1 25263 KachelY + 1 24875 1.70252693 -1.18313231 97.547608 -67.788488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18305982--1.18313231) × R
    7.24899999999806e-05 × 6371000     		dl = 461.833789999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18305982--1.18313231) × R
    7.24899999999806e-05 × 6371000     		dr = 461.833789999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70233518-1.70252693) × cos(-1.18305982) × R
    0.000191750000000157 × 0.378093917609967 × 6371000     		do = 461.89436993898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70233518-1.70252693) × cos(-1.18313231) × R
    0.000191750000000157 × 0.378026807749128 × 6371000     		du = 461.812385898917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18305982)-sin(-1.18313231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378093917609967-0.378026807749128)×R²
    abs(1.70252693-1.70233518)×6.71098608393539e-05×R²
    0.000191750000000157×6.71098608393539e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.71098608393539e-05×40589641000000     		ar = 213299.496041527m²