Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25261 / 24725
↖ ↑ ↗
← S 67.157164°
E 97.525635°		 ← 474.25 m → S 67.157164°
E 97.536621°		 →
↑
474.19 m
↓
↑
474.19 m
↓
S 67.161428°
E 97.525635°		 ← 474.16 m →
224 865 m²		 S 67.161428°
E 97.536621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770919799804688 y=0.754562377929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770919799804688 × 215)
    floor (0.770919799804688 × 32768)
    floor (25261.5)     		tx = 25261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754562377929688 × 215)
    floor (0.754562377929688 × 32768)
    floor (24725.5)     		ty = 24725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25261 / 24725 ti = "15/25261/24725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25261/24725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25261 ÷ 215
    25261 ÷ 32768     		x = 0.770904541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24725 ÷ 215
    24725 ÷ 32768     		y = 0.754547119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770904541015625 × 2 - 1) × π
    0.54180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70214343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754547119140625 × 2 - 1) × π
    -0.50909423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59936671892355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70214343} λ = 1.70214343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59936671892355))-π/2
    2×atan(0.202024415732236)-π/2
    2×0.199341353463636-π/2
    0.398682706927273-1.57079632675     		φ = -1.17211362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70214343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.525635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17211362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.157164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25261 KachelY 24725 1.70214343 -1.17211362 97.525635 -67.157164
    Oben rechts KachelX + 1 25262 KachelY 24725 1.70233518 -1.17211362 97.536621 -67.157164
    Unten links KachelX 25261 KachelY + 1 24726 1.70214343 -1.17218805 97.525635 -67.161428
    Unten rechts KachelX + 1 25262 KachelY + 1 24726 1.70233518 -1.17218805 97.536621 -67.161428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17211362--1.17218805) × R
    7.44299999999587e-05 × 6371000     		dl = 474.193529999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17211362--1.17218805) × R
    7.44299999999587e-05 × 6371000     		dr = 474.193529999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70214343-1.70233518) × cos(-1.17211362) × R
    0.000191749999999935 × 0.388204697399408 × 6371000     		do = 474.246095377329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70214343-1.70233518) × cos(-1.17218805) × R
    0.000191749999999935 × 0.388136103632923 × 6371000     		du = 474.162298539886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17211362)-sin(-1.17218805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388204697399408-0.388136103632923)×R²
    abs(1.70233518-1.70214343)×6.85937664849368e-05×R²
    0.000191749999999935×6.85937664849368e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.85937664849368e-05×40589641000000     		ar = 224864.562200264m²