Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25258 / 24490
↖ ↑ ↗
← S 66.133854°
E 97.492676°		 ← 494.28 m → S 66.133854°
E 97.503662°		 →
↑
494.26 m
↓
↑
494.26 m
↓
S 66.138299°
E 97.492676°		 ← 494.19 m →
244 281 m²		 S 66.138299°
E 97.503662°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770828247070312 y=0.747390747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770828247070312 × 215)
    floor (0.770828247070312 × 32768)
    floor (25258.5)     		tx = 25258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747390747070312 × 215)
    floor (0.747390747070312 × 32768)
    floor (24490.5)     		ty = 24490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25258 / 24490 ti = "15/25258/24490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25258/24490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25258 ÷ 215
    25258 ÷ 32768     		x = 0.77081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24490 ÷ 215
    24490 ÷ 32768     		y = 0.74737548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77081298828125 × 2 - 1) × π
    0.5416259765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70156819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.4947509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5543060332807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70156819} λ = 1.70156819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5543060332807))-π/2
    2×atan(0.211335991909086)-π/2
    2×0.208271412958362-π/2
    0.416542825916724-1.57079632675     		φ = -1.15425350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70156819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.492676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15425350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.133854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25258 KachelY 24490 1.70156819 -1.15425350 97.492676 -66.133854
    Oben rechts KachelX + 1 25259 KachelY 24490 1.70175994 -1.15425350 97.503662 -66.133854
    Unten links KachelX 25258 KachelY + 1 24491 1.70156819 -1.15433108 97.492676 -66.138299
    Unten rechts KachelX + 1 25259 KachelY + 1 24491 1.70175994 -1.15433108 97.503662 -66.138299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15425350--1.15433108) × R
    7.75799999999105e-05 × 6371000     		dl = 494.26217999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15425350--1.15433108) × R
    7.75799999999105e-05 × 6371000     		dr = 494.26217999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70156819-1.70175994) × cos(-1.15425350) × R
    0.000191750000000157 × 0.404601315945891 × 6371000     		do = 494.276848161557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70156819-1.70175994) × cos(-1.15433108) × R
    0.000191750000000157 × 0.404530368347528 × 6371000     		du = 494.190175790703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15425350)-sin(-1.15433108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404601315945891-0.404530368347528)×R²
    abs(1.70175994-1.70156819)×7.09475983632912e-05×R²
    0.000191750000000157×7.09475983632912e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.09475983632912e-05×40589641000000     		ar = 244280.933180512m²