Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25256 / 24872
↖ ↑ ↗
← S 67.776026°
E 97.470703°		 ← 462.06 m → S 67.776026°
E 97.481689°		 →
↑
461.96 m
↓
↑
461.96 m
↓
S 67.780180°
E 97.470703°		 ← 461.98 m →
213 434 m²		 S 67.780180°
E 97.481689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770767211914062 y=0.759048461914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770767211914062 × 215)
    floor (0.770767211914062 × 32768)
    floor (25256.5)     		tx = 25256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759048461914062 × 215)
    floor (0.759048461914062 × 32768)
    floor (24872.5)     		ty = 24872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25256 / 24872 ti = "15/25256/24872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25256/24872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25256 ÷ 215
    25256 ÷ 32768     		x = 0.770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24872 ÷ 215
    24872 ÷ 32768     		y = 0.759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770751953125 × 2 - 1) × π
    0.54150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70118469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759033203125 × 2 - 1) × π
    -0.51806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62755361590015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70118469} λ = 1.70118469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62755361590015))-π/2
    2×atan(0.196409479899325)-π/2
    2×0.193940764928947-π/2
    0.387881529857893-1.57079632675     		φ = -1.18291480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70118469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18291480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.776026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25256 KachelY 24872 1.70118469 -1.18291480 97.470703 -67.776026
    Oben rechts KachelX + 1 25257 KachelY 24872 1.70137644 -1.18291480 97.481689 -67.776026
    Unten links KachelX 25256 KachelY + 1 24873 1.70118469 -1.18298731 97.470703 -67.780180
    Unten rechts KachelX + 1 25257 KachelY + 1 24873 1.70137644 -1.18298731 97.481689 -67.780180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18291480--1.18298731) × R
    7.25099999998591e-05 × 6371000     		dl = 461.961209999102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18291480--1.18298731) × R
    7.25099999998591e-05 × 6371000     		dr = 461.961209999102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70118469-1.70137644) × cos(-1.18291480) × R
    0.000191749999999935 × 0.378228168399366 × 6371000     		do = 462.058375972118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70118469-1.70137644) × cos(-1.18298731) × R
    0.000191749999999935 × 0.378161043998795 × 6371000     		du = 461.976374169748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18291480)-sin(-1.18298731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378228168399366-0.378161043998795)×R²
    abs(1.70137644-1.70118469)×6.71244005705507e-05×R²
    0.000191749999999935×6.71244005705507e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.71244005705507e-05×40589641000000     		ar = 213434.105722331m²