Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25256 / 24616
↖ ↑ ↗
← S 66.687784°
E 97.470703°		 ← 483.45 m → S 66.687784°
E 97.481689°		 →
↑
483.37 m
↓
↑
483.37 m
↓
S 66.692131°
E 97.470703°		 ← 483.37 m →
233 665 m²		 S 66.692131°
E 97.481689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770767211914062 y=0.751235961914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770767211914062 × 215)
    floor (0.770767211914062 × 32768)
    floor (25256.5)     		tx = 25256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751235961914062 × 215)
    floor (0.751235961914062 × 32768)
    floor (24616.5)     		ty = 24616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25256 / 24616 ti = "15/25256/24616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25256/24616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25256 ÷ 215
    25256 ÷ 32768     		x = 0.770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24616 ÷ 215
    24616 ÷ 32768     		y = 0.751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770751953125 × 2 - 1) × π
    0.54150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.70118469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.50244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.57846623068921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70118469} λ = 1.70118469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57846623068921))-π/2
    2×atan(0.206291258886093)-π/2
    2×0.203437463788568-π/2
    0.406874927577137-1.57079632675     		φ = -1.16392140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70118469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.470703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16392140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.687784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25256 KachelY 24616 1.70118469 -1.16392140 97.470703 -66.687784
    Oben rechts KachelX + 1 25257 KachelY 24616 1.70137644 -1.16392140 97.481689 -66.687784
    Unten links KachelX 25256 KachelY + 1 24617 1.70118469 -1.16399727 97.470703 -66.692131
    Unten rechts KachelX + 1 25257 KachelY + 1 24617 1.70137644 -1.16399727 97.481689 -66.692131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16392140--1.16399727) × R
    7.58700000000889e-05 × 6371000     		dl = 483.367770000567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16392140--1.16399727) × R
    7.58700000000889e-05 × 6371000     		dr = 483.367770000567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70118469-1.70137644) × cos(-1.16392140) × R
    0.000191749999999935 × 0.395741316516025 × 6371000     		do = 483.453125102486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70118469-1.70137644) × cos(-1.16399727) × R
    0.000191749999999935 × 0.395671639250201 × 6371000     		du = 483.368004619723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16392140)-sin(-1.16399727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395741316516025-0.395671639250201)×R²
    abs(1.70137644-1.70118469)×6.96772658237976e-05×R²
    0.000191749999999935×6.96772658237976e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.96772658237976e-05×40589641000000     		ar = 233665.086843678m²