Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 25255 / 24857
↖ ↑ ↗
← S 67.713612°
E 97.459717°		 ← 463.27 m → S 67.713612°
E 97.470703°		 →
↑
463.24 m
↓
↑
463.24 m
↓
S 67.717778°
E 97.459717°		 ← 463.18 m →
214 582 m²		 S 67.717778°
E 97.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770736694335938 y=0.758590698242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770736694335938 × 215)
    floor (0.770736694335938 × 32768)
    floor (25255.5)     		tx = 25255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758590698242188 × 215)
    floor (0.758590698242188 × 32768)
    floor (24857.5)     		ty = 24857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25255 / 24857 ti = "15/25255/24857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25255/24857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25255 ÷ 215
    25255 ÷ 32768     		x = 0.770721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24857 ÷ 215
    24857 ÷ 32768     		y = 0.758575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770721435546875 × 2 - 1) × π
    0.54144287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70099295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.51715087890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62467740192294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70099295} λ = 1.70099295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62467740192294))-π/2
    2×atan(0.196975208779319)-π/2
    2×0.194485422163751-π/2
    0.388970844327501-1.57079632675     		φ = -1.18182548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70099295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.459717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18182548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.713612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25255 KachelY 24857 1.70099295 -1.18182548 97.459717 -67.713612
    Oben rechts KachelX + 1 25256 KachelY 24857 1.70118469 -1.18182548 97.470703 -67.713612
    Unten links KachelX 25255 KachelY + 1 24858 1.70099295 -1.18189819 97.459717 -67.717778
    Unten rechts KachelX + 1 25256 KachelY + 1 24858 1.70118469 -1.18189819 97.470703 -67.717778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18182548--1.18189819) × R
    7.27099999999758e-05 × 6371000     		dl = 463.235409999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18182548--1.18189819) × R
    7.27099999999758e-05 × 6371000     		dr = 463.235409999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70099295-1.70118469) × cos(-1.18182548) × R
    0.000191739999999996 × 0.379236340828347 × 6371000     		do = 463.265837835002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70099295-1.70118469) × cos(-1.18189819) × R
    0.000191739999999996 × 0.379169061274424 × 6371000     		du = 463.183650777588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18182548)-sin(-1.18189819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379236340828347-0.379169061274424)×R²
    abs(1.70118469-1.70099295)×6.72795539227167e-05×R²
    0.000191739999999996×6.72795539227167e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.72795539227167e-05×40589641000000     		ar = 214582.104445662m²