Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25255 / 24855
↖ ↑ ↗
← S 67.705278°
E 97.459717°		 ← 463.43 m → S 67.705278°
E 97.470703°		 →
↑
463.43 m
↓
↑
463.43 m
↓
S 67.709446°
E 97.459717°		 ← 463.35 m →
214 747 m²		 S 67.709446°
E 97.470703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770736694335938 y=0.758529663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770736694335938 × 215)
    floor (0.770736694335938 × 32768)
    floor (25255.5)     		tx = 25255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758529663085938 × 215)
    floor (0.758529663085938 × 32768)
    floor (24855.5)     		ty = 24855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25255 / 24855 ti = "15/25255/24855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25255/24855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25255 ÷ 215
    25255 ÷ 32768     		x = 0.770721435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24855 ÷ 215
    24855 ÷ 32768     		y = 0.758514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770721435546875 × 2 - 1) × π
    0.54144287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.70099295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758514404296875 × 2 - 1) × π
    -0.51702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62429390672598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70099295} λ = 1.70099295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62429390672598))-π/2
    2×atan(0.197050762312088)-π/2
    2×0.194558152724052-π/2
    0.389116305448104-1.57079632675     		φ = -1.18168002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70099295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.459717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18168002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.705278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25255 KachelY 24855 1.70099295 -1.18168002 97.459717 -67.705278
    Oben rechts KachelX + 1 25256 KachelY 24855 1.70118469 -1.18168002 97.470703 -67.705278
    Unten links KachelX 25255 KachelY + 1 24856 1.70099295 -1.18175276 97.459717 -67.709446
    Unten rechts KachelX + 1 25256 KachelY + 1 24856 1.70118469 -1.18175276 97.470703 -67.709446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18168002--1.18175276) × R
    7.27400000000156e-05 × 6371000     		dl = 463.426540000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18168002--1.18175276) × R
    7.27400000000156e-05 × 6371000     		dr = 463.426540000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70099295-1.70118469) × cos(-1.18168002) × R
    0.000191739999999996 × 0.379370930930848 × 6371000     		do = 463.430249812143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70099295-1.70118469) × cos(-1.18175276) × R
    0.000191739999999996 × 0.379303627630067 × 6371000     		du = 463.348033746148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18168002)-sin(-1.18175276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379370930930848-0.379303627630067)×R²
    abs(1.70118469-1.70099295)×6.73033007805302e-05×R²
    0.000191739999999996×6.73033007805302e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.73033007805302e-05×40589641000000     		ar = 214746.826742961m²