Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25253 / 24613
↖ ↑ ↗
← S 66.674737°
E 97.437744°		 ← 483.71 m → S 66.674737°
E 97.448731°		 →
↑
483.69 m
↓
↑
483.69 m
↓
S 66.679087°
E 97.437744°		 ← 483.62 m →
233 943 m²		 S 66.679087°
E 97.448731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770675659179688 y=0.751144409179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770675659179688 × 215)
    floor (0.770675659179688 × 32768)
    floor (25253.5)     		tx = 25253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751144409179688 × 215)
    floor (0.751144409179688 × 32768)
    floor (24613.5)     		ty = 24613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25253 / 24613 ti = "15/25253/24613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25253/24613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25253 ÷ 215
    25253 ÷ 32768     		x = 0.770660400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24613 ÷ 215
    24613 ÷ 32768     		y = 0.751129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770660400390625 × 2 - 1) × π
    0.54132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70060945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751129150390625 × 2 - 1) × π
    -0.50225830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57789098789377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70060945} λ = 1.70060945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57789098789377))-π/2
    2×atan(0.206409960584405)-π/2
    2×0.203551317529127-π/2
    0.407102635058255-1.57079632675     		φ = -1.16369369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70060945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.437744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16369369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.674737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25253 KachelY 24613 1.70060945 -1.16369369 97.437744 -66.674737
    Oben rechts KachelX + 1 25254 KachelY 24613 1.70080120 -1.16369369 97.448731 -66.674737
    Unten links KachelX 25253 KachelY + 1 24614 1.70060945 -1.16376961 97.437744 -66.679087
    Unten rechts KachelX + 1 25254 KachelY + 1 24614 1.70080120 -1.16376961 97.448731 -66.679087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16369369--1.16376961) × R
    7.59200000000071e-05 × 6371000     		dl = 483.686320000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16369369--1.16376961) × R
    7.59200000000071e-05 × 6371000     		dr = 483.686320000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70060945-1.70080120) × cos(-1.16369369) × R
    0.000191749999999935 × 0.395950426471151 × 6371000     		do = 483.708582031233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70060945-1.70080120) × cos(-1.16376961) × R
    0.000191749999999935 × 0.395880710128403 × 6371000     		du = 483.623413810566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16369369)-sin(-1.16376961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395950426471151-0.395880710128403)×R²
    abs(1.70080120-1.70060945)×6.97163427474945e-05×R²
    0.000191749999999935×6.97163427474945e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.97163427474945e-05×40589641000000     		ar = 233942.626756209m²