Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 25249 / 24610
↖ ↑ ↗
← S 66.661683°
E 97.393799°		 ← 483.96 m → S 66.661683°
E 97.404785°		 →
↑
483.94 m
↓
↑
483.94 m
↓
S 66.666036°
E 97.393799°		 ← 483.88 m →
234 190 m²		 S 66.666036°
E 97.404785°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 25249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.770553588867188 y=0.751052856445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.770553588867188 × 215)
    floor (0.770553588867188 × 32768)
    floor (25249.5)     		tx = 25249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751052856445312 × 215)
    floor (0.751052856445312 × 32768)
    floor (24610.5)     		ty = 24610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 25249 / 24610 ti = "15/25249/24610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/25249/24610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 25249 ÷ 215
    25249 ÷ 32768     		x = 0.770538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24610 ÷ 215
    24610 ÷ 32768     		y = 0.75103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.770538330078125 × 2 - 1) × π
    0.54107666015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69984246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75103759765625 × 2 - 1) × π
    -0.5020751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.57731574509833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69984246} λ = 1.69984246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57731574509833))-π/2
    2×atan(0.206528730584656)-π/2
    2×0.203665231426453-π/2
    0.407330462852906-1.57079632675     		φ = -1.16346586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69984246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.393799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16346586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.661683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 25249 KachelY 24610 1.69984246 -1.16346586 97.393799 -66.661683
    Oben rechts KachelX + 1 25250 KachelY 24610 1.70003421 -1.16346586 97.404785 -66.661683
    Unten links KachelX 25249 KachelY + 1 24611 1.69984246 -1.16354182 97.393799 -66.666036
    Unten rechts KachelX + 1 25250 KachelY + 1 24611 1.70003421 -1.16354182 97.404785 -66.666036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16346586--1.16354182) × R
    7.5959999999986e-05 × 6371000     		dl = 483.941159999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16346586--1.16354182) × R
    7.5959999999986e-05 × 6371000     		dr = 483.941159999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69984246-1.70003421) × cos(-1.16346586) × R
    0.000191750000000157 × 0.396159626077318 × 6371000     		do = 483.964148481771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69984246-1.70003421) × cos(-1.16354182) × R
    0.000191750000000157 × 0.396089879856004 × 6371000     		du = 483.878943760275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16346586)-sin(-1.16354182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396159626077318-0.396089879856004)×R²
    abs(1.70003421-1.69984246)×6.97462213139488e-05×R²
    0.000191750000000157×6.97462213139488e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.97462213139488e-05×40589641000000     		ar = 234189.554491609m²